[論文レビュー] Cheeger constant and algebraic entropy of linear groups

Emmanuel Breuillard, Tsachik Gelander|ArXiv.org|Jul 21, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の体上の線型群に対して、Titsの代替定理の均一版を確立する。非仮想的可解でない部分群が、一様に有界な語長内で生成される自由部分群を含むことを証明する。対称空間およびBruhat-Titsのビルディングにおける幾何学的・算術的道具を用いて、ケイリーグラフのCheeger定数および代数的エントロピーの均一な下界を導出し、特徴が任意の体に一般化され、成長およびスペクトルギャップにおける一様性が解消される。

ABSTRACT

We prove a uniform version of the Tits alternative. As a consequence, we obtain uniform lower bounds for the Cheeger constant of Cayley grahs of finitely generated non virtually solvable linear groups in arbitrary characteristic. Also we show that the algebraic entropy of discrete subgroups of a given Lie group is uniformly bounded away from zero.

研究の動機と目的

• 任意の体上の有限生成線型群に対して、Titsの代替定理の均一版を確立すること。
• 非仮想的可解な線型群のケイリーグラフのCheeger定数に対する均一な下界を導出すること。
• 与えられたリー群の離散部分群の代数的エントロピーが、一様にゼロから離れていることを示すこと。
• Eskin-Mozes-Ohによる均一な指数的成長に関する結果を、均一なスペクトルおよび幾何的不変量へと拡張すること。
• 線型群における成長およびスペクトルギャップの研究において、幾何学的および算術的手法を統合すること。

提案手法

• Borel–Harish-Chandraの定理を用いて、一般の場合を単純なリー群における算術的格子に還元すること。
• 対称空間およびBruhat-Titsのビルディングの理論を応用して、群の元の力学的挙動を分析すること。
• KAK分解およびリプシッツ推定を用いて、収縮的および非常に近接な元を特徴づけること。
• 鳩の巣原理および算術的複雑性の境界を用いて、吸引および反発方向を分離する共役要素を見つけること。
• MostowおよびLandvogtの定理（CAT(0)空間における完全測地的埋め込み）を活用して、リー群から算術的格子へ元を引き上げること。
• 代数的ベクトルの幾何的分離と算術的複雑性の相互作用を通じて、均一な境界を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非仮想的可解でない線型群において、独立な生成元を発見するために必要な語長を、一様な境界で強化できるか？
• RQ2 任意の体上の線型群のケイリーグラフのCheeger定数に対する一様な下界は何か？
• RQ3 固定されたリー群の離散部分群の代数的エントロピーは、生成集合に依存せずに一様にどのように振る舞うか？
• RQ4 Kazhdan定数を用いたスペクトルギャップは、線型群においてどれほど一様にゼロから離せるように保証できるか？
• RQ5 対称空間およびビルディングにおける幾何学的手法を用いて、算術的格子における均一な成長およびスペクトル的性質を証明できるか？

主な発見

• すべての有限生成非仮想的可解線型群において、独立性径路 $d_\Gamma$ は一様に有界である。
• このような群のすべてのケイリーグラフに対して、生成集合に依存しない一様なCheeger定数 $h_\Gamma$ の下界が確立された。
• 与えられたリー群の離散部分群の代数的エントロピーは、一様にゼロから離れている。これは、一様な指数的成長を示唆する。
• 非一様な算術的格子において、独立性径路の均一な境界は、周囲のリー群 $G$ のみに依存する。
• 証明は、$ι^2$-Kazhdan定数 $\kappa_\Gamma$ の一様な下界を導き、一様な非アーメン性を保証する。
• ピンポン対の構成は、算術的複雑性と幾何的分離に依存し、その境界は次数 $d$ および次元 $n$ に依存する。