[論文レビュー] Cheeger's constant and the first eigenvalue of a closed Finsler manifold

Wei Zhao, Lixia Yuan|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、閉Fインスラーマニフォールド上のシャンの非線形ラプラシアンの第一固有値に関して、Cheeger型不等式およびBuser型不等式を確立する。非可逆的計量に起因する非対称な面積測度を考慮する新しいFインスラーラーCheeger定数を導入する。主な結果は、可逆性とCheeger定数の関数として第一固有値の下界を示し、ヤウの推定をFインスラーレジオメトリに拡張し、リッチ曲率の下界がある場合のスペクトル幾何学的リンクを提供する。

ABSTRACT

In this paper, we consider Cheeger's constant and the first eigenvalue of the nonlinear Laplacian on closed Finsler manifolds. Being based on these, we establish Cheeger's inequality and Buser's inequality for closed Finsler manifolds.

研究の動機と目的

• シャンのエネルギー関数を用いて定義される非線形ラプラシアンの第一固有値に関して、リーマン幾何からFインスラーレジオメトリへのCheegerおよびBuserの不等式の拡張を図ること。
• 外向きおよび内向きの法線面積を用いることで、計量の非対称性を反映する新しいFインスラーラーCheeger定数を定義すること。
• 可逆性定数λFを用いて、Cheeger定数と第一固有値の下界を導出することにより、ヤウの推定をFインスラーマニフォールドに一般化すること。
• リッチ曲率と一様定数の下限がある場合に、Buser型の上界を第一固有値に対して確立すること。Busemann-Hausdorff測度およびHolmes-Thompson測度の両方に有効である。
• ベルワルド計量において、両方の測度下でS曲率が消えることを利用して、より鋭いスペクトル推定を可能にすること。

提案手法

• FインスラーラーCheeger定数h(M)を、超曲面Γによる分割のうち、min{A±(Γ)} / min{μ(D1), μ(D2)} の下界として定義する。ここでA±(Γ)は外向きおよび内向きの法線に由来する面積を表す。
• 第一固有値λ1(M)を、平均がゼロの関数に関する変分的特徴づけ、λ1(M) = inf ∫F*²(df) dμ / ∫|f|² dμ として定義する。
• 可逆性λF ≤ λを仮定して、Cheeger型不等式 λ1(M) ≥ h²(M)/(4λ²) を確立する。
• リッチ曲率が Ric ≥ -(n−1)δ² かつ一様定数ΛF ≤ Λ であると仮定して、Buser型不等式 λ1(M) ≤ C(n,Λ)(δh(M) + h²(M)) を証明する。
• Fインスラーマニフォールドにおける比較幾何の技法および体積成長推定を用いて、Cheeger定数を介して第一固有値の上界を評価する。
• ベルワルド計量では、Busemann-HausdorffおよびHolmes-Thompson両測度下でS曲率が消えることを利用し、スペクトル推定を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可逆的計量を考慮する場合、閉Fインスラーマニフォールド上でのシャンのラプラシアンの第一固有値に対してCheeger型不等式を確立できるか？
• RQ2 計量が可逆でない場合、非リーマン的Fインスラーレジオメトリにおいて、第一固有値とCheeger定数の関係はどのように定式化されるか？
• RQ3 リッチ曲率と一様定数の下限がある場合に、Fインスラーレジオメトリにおける第一固有値のBuser型上界を導出できるか？
• RQ4 ベルワルド計量においてS曲率が消えることは、第一固有値のより鋭いスペクトル推定を可能にするか？
• RQ5 直径、体積、曲率といった幾何的不変量を用いて、ヤウの第一固有値の下界推定をFインスラーマニフォールドに一般化できるか？

主な発見

• 可逆性λF ≤ λを満たす閉Fインスラーマニフォールドに対して、Cheeger型不等式 λ1(M) ≥ h²(M)/(4λ²) が成立し、リーマンの場合に一般化される。
• リッチ曲率が Ric ≥ -(n−1)δ² かつ一様定数ΛF ≤ Λ である場合、Buser型不等式 λ1(M) ≤ C(n,Λ)(δh(M) + h²(M)) が確立される。
• ランダース計量 F = α + β に対して、一様定数は ΛF = (1+b)²/(1−b)² で与えられ、b = sup‖β‖α である。これにより、λ1(M) ≤ C(n,b)(δh(M) + h²(M)) が得られる。
• ベルワルド計量では、Busemann-HausdorffおよびHolmes-Thompson両測度下でS曲率が消えるため、より良いスペクトル制御が可能である。
• 閉Fインスラーマニフォールドの第一固有値は、直径、体積、一様定数、リッチ曲率の下界を用いて下界から評価可能であり、ヤウの推定がFインスラーレジオメトリに拡張される。
• ベルワルド多様体でリッチ曲率が Ric ≥ -(n−1)δ² かつ λF ≤ λ である場合、第一固有値は λ1(M) ≤ C(n,λ)(δh(M) + h²(M)) を満たし、S曲率に依存しない。