[論文レビュー] Chen-Ruan cohomology of ADE singularities

Fabio Perroni|ArXiv.org|May 8, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、横断的ADE特異点をもつ軌道体に対して、Ruanのコホモロジー的クレパント解消予想を検討し、A_n特異点についてChen-Ruanコホモロジーと量子補正コホモロジーを計算する。A₁の場合にq = -1におけるChen-Ruanコホモロジーと量子補正コホモロジーの明示的同型を証明し、A₂の場合に元の予想の失敗を解消する修正された予想を提示・検証する。

ABSTRACT

We study Ruan's extit{cohomological crepant resolution conjecture} for orbifolds with transversal ADE singularities. In the $A_n$-case we compute both the Chen-Ruan cohomology ring $H^*_{ m CR}([Y])$ and the quantum corrected cohomology ring $H^*(Z)(q_1,...,q_n)$. The former is achieved in general, the later up to some additional, technical assumptions. We construct an explicit isomorphism between $H^*_{ m CR}([Y])$ and $H^*(Z)(-1)$ in the $A_1$-case, verifying Ruan's conjecture. In the $A_n$-case, the family $H^*(Z)(q_1,...,q_n)$ is not defined for $q_1=...=q_n=-1$. This implies that the conjecture should be slightly modified. We propose a new conjecture in the $A_n$-case which we prove in the $A_2$-case by constructing an explicit isomorphism.

研究の動機と目的

• 横断的ADE特異点をもつ軌道体に対して、Ruanのコホモロジー的クレパント解消予想を検証すること。
• A_n特異点のChen-Ruanコホモロジールーブを一般に計算すること。
• 技術的仮定の下で、特にA_nの場合に量子補正コホモロジールーブを計算すること。
• A_nの場合にq₁ = ... = qₙ = -1における元の予想の失敗を特定し、修正版を提示すること。
• A₂の場合に、コホモロジールーブ間の明示的同型を用いて修正された予想を証明すること。

提案手法

• ねじれたセクターと群作用のデータを用いて、横断的ADE特異点をもつ軌道体のChen-RuanコホモロジールーブH*_{CR}([Y])を計算する。
• 粗いモジュライ空間Yのクレパント解消Zを構成し、解消の幾何を用いてH*(Z)を記述する。
• 有理曲線のGromov-Witten不変量に関する予想（Conj. 5.1）を提示し、量子補正コホモロジールーブH*(Z)(q₁,…,qₙ)を定義する。
• 変形理論と障害理論を用いて、Zへの安定写像のモジュライ空間の仮想基本クラスを計算する。
• Aspinwall-Morrisonの公式とPoincaré双対性を用いて3点関数を評価し、量子補正を計算する。
• 古典的McKay対応を用いて、A₁およびA₂の場合にH*_{CR}([Y])とH*(Z)(-1)の明示的同型を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 横断的ADE特異点をもつ軌道体に対して、Ruanのコホモロジー的クレパント解消予想は成立するか？
• RQ2 なぜ元の予想はA_nの場合にq₁ = ... = qₙ = -1で失敗するのか？また、どのように修正すべきか？
• RQ3 A₁およびA₂の場合に、Chen-Ruanコホモロジールーブと量子補正コホモロジールーブの間で明示的同型を構成できるか？
• RQ4 A_n特異点における量子補正コホモロジールーブH*(Z)(q₁,…,qₙ)の構造は何か？
• RQ5 A_n設定において、量子補正に必要なGromov-Witten不変量は計算可能か？どのような仮定の下で？

主な発見

• A₁の場合に、Chen-RuanコホモロジールーブH*_{CR}([Y])と量子補正コホモロジールーブH*(Z)(-1)の明示的同型が構成され、Ruanの予想が検証された。
• 元の予想はA_nの場合（n ≥ 2）で失敗する。その理由は、量子補正3点関数がq₁ = ... = qₙ = -1で評価できないためである。
• A_nの場合に、q = -1における失敗を考慮した修正された予想（Conj. 1.9）が提示された。
• A₂の場合に、H*_{CR}([Y])とH*(Z)(-1)の明示的同型を構成することで、修正された予想が証明された。
• 量子補正に必要なGromov-Witten不変量は、変形理論と障害理論を用いて計算され、特に正則バンドルの第一チャーン類が重要な役割を果たした。
• 修正された予想のもとで、量子パラメータを-1に設定したとき、量子補正コホモロジールーブの構造がChen-Ruanコホモロジールーブと同型であることが示された。