[論文レビュー] Chen--Ruan cohomology of some moduli spaces

Indranil Biswas, Mainak Poddar|ArXiv.org|Aug 24, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、 genus g ≥ 2 のコンpakトなリーマン面 X 上の安定な PSL(2,ℂ)-バンドルで、非自明な第二スティーフェル・ホイットニー類を持つものの、モジュライ空間の Chen–Ruan コホロロジー環を計算する。オルビフォールドコホロロジー理論とオルビフォールド Gromov–Witten 型相関関数を用いて、固定点の寄与を考慮することで、固定行列式を持つランク2バンドルのモジュライ空間上の Γ-作用からの固定点部分多様体の寄与を経由して、環構造を導出する。

ABSTRACT

Let X be a compact connected Riemann surface of genus at least two. We compute the Chen--Ruan cohomology ring of the moduli space of stable PSL(2, C)--bundles of nontrivial second Stiefel--Whitney class over X.

研究の動機と目的

• Γ が Pic^0(X) の 2- torsion 部分群であるとき、オルビフォールド ${\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma$ の Chen–Ruan コホロロジー環を計算すること。
• 固定行列式を持つランク2安定バンドルの Γ-商として生じる、安定な PSL(2,\mathbb{C})-バンドルのモジュライ空間のオルビフォールドコホロロジー構造を理解すること。
• 相関関数と障害バンドルのランクを用いて、特に固定点部分多様体 $\mathcal{S}(L)$ を含む状況における Chen–Ruan コホロロジーの環構造を特定すること。
• クラスが同じまたは異なるねじれセクターから来ている場合、および交わりが自明または有限な場合の Chen–Ruan 積の振る舞いを特定すること。

提案手法

• genus g ≥ 2 のリーマン面 X 上で、次数 1 の固定行列式 $\xi$ を持つランク2安定バンドルのモジュライ空間 ${\mathcal{M}}_{\xi}$ を定義する。
• $L^{igotimes 2} \cong \mathcal{O}_X$ を満たすラインバンドル $L$ を用いたテンソル積による作用を導入する。ここで $\Gamma = \text{Pic}^0(X)_2$ は、ヤコビアンの 2- torsion 部分群である。
• 安定な PSL(2,\mathbb{C})-バンドルで非自明な $w_2$ を持つものをパラメトライズする、オルビフォールド商 ${\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma$ を構成する。
• Chen–Ruan コホロロジーを、$H_{CR}^*({\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma,\mathbb{Q}) = H^*({\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma,\mathbb{Q}) \oplus \bigoplus_{L \neq \mathcal{O}_X} H^{*-2\iota(L)}(\mathcal{S}(L)/\Gamma,\mathbb{Q})$ の形の直和分解により定義する。ここで $\mathcal{S}(L)$ は $L$ の固定点集合である。
• 仮想的クラスと障害バンドルのランクを用いた三点相関関数を定義し、環構造を定義する。これらのランクは幾何学的および位相的データから計算される。
• 固定点集合 $\mathcal{S}(L_1) \cap \mathcal{S}(L_2)$ の交わりに基づく 4 つのケース（空、点、有限群作用）を分析し、それぞれ異なる積則が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な $w_2$ を持つ PSL(2,\mathbb{C})-バンドルに対して、オルビフォールド ${\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma$ の Chen–Ruan コホロロジー環構造は何か？
• RQ2 Γ-作用から生じるねじれセクターは、特に固定点部分多様体 $\mathcal{S}(L)$ を通じて Chen–Ruan コホロロジーにどのように寄与するか？
• RQ3 固定点集合 $\mathcal{S}(L_1)$ と $\mathcal{S}(L_2)$ が自明または非自明に交わる場合、Chen–Ruan 積の振る舞いはどのように変化するか？
• RQ4 トップ次数のコホロロジー類とモジュライ空間のチャーン類 $\kappa$ に依存する環構造は何か？
• RQ5 正規化されたトップ次数類 $\Omega$ 及びその積分 $v = \int_{{\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma} \kappa^{3(g-1)}$ は、積構造を特定するために果たす役割は何か？

主な発見

• ${\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma$ の Chen–Ruan コホロロジー環は、非自明な $L \in \Gamma$ に対する固定点集合 $\mathcal{S}(L)$ の寄与を含む、非ねじれとねじれセクターの直和として計算される。
• $L \neq \mathcal{O}_X$ の場合、ねじれセクターのコホロロジー $H^{*-2\iota(L)}(\mathcal{S}(L)/\Gamma,\mathbb{Q})$ が環構造に寄与し、$\iota(L)$ は $d\phi_L$ の接空間上の固有値によって定まる。
• ケース (b) では、Chen–Ruan 積が $\alpha_1 \cup \alpha_2 = \alpha_1 \wedge f^*\alpha_2$ を満たし、$f^*\alpha_2 = 0$ となるのは $\alpha_2$ が $\kappa$ のべきの倍数でない限りである。
• ケース (c) では、積が $\alpha_1 \cup \alpha_2 = f^*\alpha_1 \wedge \alpha_2$ で与えられ、同様の消滅条件が成り立つ。
• ケース (d) では、$\mu(\omega(L_1) \otimes \omega(L_2)) = 1$ ならば、$\alpha_i \in A^{2g-2}(L_i)$ のとき $\alpha_1 \cup \alpha_2 = \frac{1}{4} \alpha_1 \alpha_2 \Omega'$ であり、それ以外の場合は 0 である。ここで $\Omega'$ は $\mathcal{S}(L_1 \otimes L_2)/\Gamma$ 上の正規化されたトップ次数類である。
• 正規化定数 $v = \int_{{\mathcal{M}}_{\xi}/\Gamma} \kappa^{3(g-1)}$ は、$v = \frac{1}{2^{2g}} \int_{{\mathcal{M}}_{\xi}} H([X])^{3g-3}$ を満たし、後者はベルヌーイ数と組み合わせ的係数を用いて計算される。