[論文レビュー] Chern characters in equivariant basic cohomology

Wenran Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体のフォリエーションに対して、G-不変基本コホモロジーにおけるチャーン類の理論を構築し、主 bundle と接続を用いて G-不変基本チャーン類の幾何的実現を確立する。本稿は、G-不変基本チャーン類が、基本多様体上に自然に構成された G-不変主 bundle のチャーン類として実現されることを証明し、アティヤ＝シンガーの指数理論を群作用を伴うフォリエーションの設定に拡張する。

ABSTRACT

From 1980s, it is an open problem of proposing cohomologic formula for the basic index of a transversally elliptic basic differential operator on a vector bundle over a foliated manifold. In 1990s, El Kacimi-Alaoui has proprosed to use the Molino theory for study this index. Molino has proved that to every transversally oriented Riemannien foliation, we can associate a manifold, called basique manifold, which is équiped with an action of orthogonal group, El Kacimi-Alaoui has shown how to associate a transversally elliptic basic differential operator an operator on a vector bundle, called useful bundle, over the basique manifold. The idea is to obtain the desired cohomologic formula from résultats about the operator on the useful bundle. This thesis is a first step in this direction. While the Riemannien foliation is Killing, Goertsches et Töben have remarked that there exists a naturel cohomologic isomorphism between the equivariant basique cohomology of the Killing foliation and the equivariant cohomology of the basique manifold. The principal result of this thesis is the geometric realisation of the cohomologic isomorphism by Chern characters under some hypothèses.

研究の動機と目的

• 横断的楕円型作用素の基本指数に対するコホモロジー的公式を導くことで、アティヤ＝シンガーの指数理論を群作用を伴うリーマンフォリエーションに拡張すること。
• リーマンフォリエーションにおけるリー群作用の文脈で、G-不変基本コホモロジーおよびチャーン類を定義し、研究すること。
• 主 bundle と基本接続を用いて、G-不変基本チャーン類の幾何的実現を構成すること。
• モリノ層、ホロノミー群体と、フォリエーション設定における不変構造の存在との関係を確立すること。
• フォリエーションとリーマン計量を保存する作用に関して、基本コホモロジーにおける G-不変チャーン類理論を一般化すること。

提案手法

• リーマンフォリエーションの文脈で、$\frak{g}$-微分代数と $\frak{g}$-不変基本コホモロジーの枠組みを用いて、G-不変基本チャーン類を定義する。
• モリノ層の理論とリーマンフォリエーションのホロノミー群体を用いて、基本微分形式の構造を分析する。
• ホロノミー群体とフレーム bundle 上への作用の上げを用いて、基本多様体 $W$ 上の主 $SO(q)$-bundle $\tilde{W} \to W$ を構成する。
• $\tilde{\frak{a}}$ の作用を上げたものに関して不変である基本接続 $\nabla^\tilde{W}$ を $\tilde{W}$ 上に構成する。
• チャーン＝ヴェイル準同型を用いて、$\tilde{W}$ 上の基本接続の曲率に特徴類を関連づけ、G-不変基本チャーン類の幾何的実現を得る。
• 付録で示されたように、基本接続の存在と、フォリエーション上にリーマン計量が存在することの同値性に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマンフォリエーション上の横断的楕円型作用素の G-不変基本チャーン類は、どのように幾何的に実現可能か？
• RQ2 $\tilde{\frak{a}}$-不変基本接続が基本多様体上に主 bundle に対して存在するための条件は何か？
• RQ3 モリノ層とホロノミー群体は、G-不変基本コホモロジーの構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 基本ベクトル bundle のチャーン類は、G-不変構造を持つ主 bundle のチャーン類として実現可能か？
• RQ5 フォリエーション多様体の G-不変基本コホモロジーと、群作用を上げた基本多様体のコホモロジーの間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 基本多様体 $\widetilde{M}$ 上の基本ベクトル bundle $\widetilde{E}$ の G-不変基本チャーン類 ${\mathrm{Ch}}_{\tilde{\frak{a}} \times so(q)}(\widetilde{E},{\mathcal{F}}_{\widetilde{E}})$ は、$W$ 上に自然に構成された $\tilde{\frak{a}} \times SO(q)$-不変主 bundle のチャーン類として実現される。
• 付録 C で示されたように、主 bundle $\widetilde{W} \to W$ 上に基本接続が存在することは、フォリエーション上にリーマン計量が存在することと同値である。
• $\widetilde{W}$ 上の基本接続 $\nabla^{\widetilde{W}}$ は $\tilde{\frak{a}}$-不変であり、群作用と整合的であることが保証され、G-不変特徴類の構成が可能になる。
• 基本ディラク作用素のチャーン類は、持ち上げた主 bundle 上でのチャーン＝ヴェイル構成により計算され、基本指数のコホモロジー的公式が得られる。
• 本理論は、$\widetilde{W}$ 上の基本接続の曲率を通じて、G-不変基本チャーン類の幾何的実現を確立し、位相的不変量と幾何的データを結びつける。
• 本稿は、モリノ層に倣ったフォリエーション多様体の基本コホモロジーが、必要な特徴類の構成を可能にするために、G-不変構造に関する本質的な情報を捉えていることを証明する。