[論文レビュー] Chern class and Riemann-Roch theorem for cohomology theory without homotopy invariance

Masanori Asakura, Kanetomo Sato|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 45被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ホモトピー不変性やコホモロジー理論における純粋性を仮定しない枠組みを構築し、高次チャーン類と分母なしリーマン・ロッホ定理を確立する。第一チャーン類に基づく公理、射影バンドル公式、厳密な閉埋め込みに関する押し出し写像を用いて、そのような一般化コホモロジー理論における高次K理論群に対する分母なしリーマン・ロッホ定理を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we formulate axioms of certain graded cohomology theory for which Chern class maps from higher K-theory are defined, following the method of Gillet [Gi1]. We will not include homotopy invariance nor purity in our axioms. It will turn out that the Grothendieck-Riemann-Roch theorem and the Riemann-Roch theorem without denominators hold for our higher Chern classes. We will also give two applications of our Riemann-Roch results.

研究の動機と目的

• ホモトピー不変性や純粋性を要しないコホモロジー理論の枠組みを定式化し、ギレットの公理的アプローチを拡張すること。
• そのような一般化コホモロジー理論における代数的K理論の高次チャーン類および特徴子を定義すること。
• より広い文脈において、高次K理論群に対する分母なしリーマン・ロッホ定理を確立すること。
• 代数幾何学におけるリーマン・ロッホ結果の応用、特に高次K理論における応用を提供すること。
• 単体的スキームにおける射影バンドル公式と押し出し構造の整合性を検証すること。

提案手法

• Gm[-1] から Γ(1) への第一チャーン類写像、射影バンドル公式、厳密な閉埋め込みに関する押し出し写像を三つの核心的公理として用い、許容的コホモロジー理論を定義する。
• ギレットの方法を応用し、ホモトピー不変性を欠くコホモロジー理論に適応して高次チャーン類を構成する。
• 導来圏における押し出し準同型 f!: f*Γ(i)Y → Γ(i+r)X[2r] を用い、チャーン類との整合性と推移性を保証する。
• ベクトルバンドルの射影的完備化において、f!(1) = cr(Q) という基本的恒等式を H^{2r}(X, Γ(r)) で示し、射影バンドル公式と押し出しの整合性を証明する。
• この枠組みを用いて、高次K群に対する分母なしリーマン・ロッホ定理を証明する。
• 無限次元複体における導来圏の技術とホモトピー論を用い、導来圏におけるホモトピー関係の整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー不変性を欠くコホモロジー理論において、高次チャーン類とリーマン・ロッホ定理を定式化することは可能か？
• RQ2 厳密な閉埋め込みに関する押し出し構造をどのように定義し、射影バンドル公式と整合させるか？
• RQ3 純粋性やホモトピー不変性が成り立たない状況下で、分母なしリーマン・ロッホ定理が成立するための条件は何か？
• RQ4 射影バンドル公式とチャーン類構成の間の整合性を形式的にどのように確立できるか？
• RQ5 この枠組みは、一般化コホモロジー理論における高次代数的K理論およびチャウ群にどのような意味を持つのか？

主な発見

• ホモトピー不変性や純粋性を満たさない許容的コホモロジー理論において、高次チャーン類に対する分母なしリーマン・ロッホ定理が成立する。
• 零切断 f: Y → X = P(E ⊕ 1) に対して、H^{2r}(X, Γ(r)) において f!(1) = cr(Q) が成り立つ。これは、射影バンドルと押し出し公理の整合性を確立する。
• 三つの核心的公理が満たされれば、ホモトピー不変性を欠くコホモロジー理論に対しても、ギレットの方法による高次チャーン類の構成が拡張可能である。
• 導来圏 D((X•)Zar) は、押し出しとホモトピー関係の整合的な枠組みを備えており、理論の整合性を保証する。
• この枠組みは第11節～第13節において二つの応用を提供し、高次K理論と代数的サイクルにおける有用性を示している。
• 第一チャーン類が押し出しと射影バンドルと整合することを形式的に検証し、単体的スキーム上のベクトルバンドルに対するホイットニー和公式を可能にした。