[論文レビュー] Chern class formulas for $G_2$ Schubert loci

Dave Anderson|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非退化な三重線形形式と歪みたフラッグを用いて、$G_2$ 構造をもつベクトル bundle の退化局所を定義することで、$G_2$ フラッグ bundle 内のシューベルト局所のチャーン類の公式を確立する。コhomologyの明示的公式をバンドルのチャーン類の多項式として与え、チャーン環の整数表現を証明し、W. グラハムのコhomology類の整数性に関する疑問を解決する。また、[Ed-Gr] の二次曲面 bundle のチャーン環計算における誤りを是正する。

ABSTRACT

We define degeneracy loci for vector bundles with structure group $G_2$, and give formulas for their cohomology (or Chow) classes in terms of the Chern classes of the bundles involved. When the base is a point, such formulas are part of the theory for rational homogeneous spaces developed by Bernstein-Gelfand-Gelfand and Demazure. This has been extended to the setting of general algebraic geometry by Giambelli-Thom-Porteous, Kempf-Laksov, and Fulton in classical types; the present work carries out the analogous program in type $G_2$. We include explicit descriptions of the $G_2$ flag variety and its Schubert varieties, and several computations, including one that answers a question of W. Graham. In appendices, we collect some facts from representation theory and compute the Chow rings of quadric bundles, clarifying a previous computation of Edidin and Graham.

研究の動機と目的

• 古典的型（A, B, C, D）からの退化局所理論を例外型 Lie 型 $G_2$ に拡張すること。
• 非退化な三重線形形式の下で歪みたフラッグとのインシデント条件を用いて、$G_2$ フラッグ bundle 内のシューベルト多様体を定義すること。
• 関与するバンドルのチャーン類の多項式として、これらのシューベルト局所の明示的コhomology（チャーン）類の公式を導出すること。
• W. グラハムが提起した、$G_2$ 幾何における有理コhomology類の整数性に関する疑問を解決すること。
• [Ed-Gr] における二次曲面 bundle の整数チャーン環計算の誤りを是正し、完全な表現を与えること。

提案手法

• $G_2$ 構造を、$\bigwedge^3 V \to L$ における非退化な交代三重線形形式 $\gamma$ を用いてランク 7 のベクトルバンドルに定義する。
• $\gamma$-歪みた部分バンドルを導入し、フラッグの交差における次元条件を用いてシューベルト局所 $D_w$ を退化局所として定義する。
• オクタニオン幾何と整合性を持つ形式を用いて $G_2$ フラッグ多様体およびそのシューベルト多様体を構成し、新たな明示的記述を提供する。
• 除法差分作用素と等置コhomology技法を用いて、シューベルト類のチャーン類の公式を導出する。
• フラッグバンドルのチャーン環が整数係数を含む形で整数表現をもつことを証明する。
• [Ed-Gr] における二次曲面バンドルのチャーン環の誤りを是正する。法束系列とチャーン類の恒等式を用いて $c_n(N_{\mathbb{P}(F)/\mathcal{Q}})$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化局所の公式を古典的 Lie 型から例外型 $G_2$ に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 基底多様体 $X$ 上の $G_2$ フラッグバンドルの整数チャーン環の正しい表現は何か？
• RQ3 W. グラハムの提示した有理コhomology類は実際に整数的であるか？ もしそうなら、その理由は何か？
• RQ4 歪みたフラッグと三重線形形式を用いた $G_2$ フラッグ多様体およびそのシューベルト部分多様体の正確な構造は何か？
• RQ5 [Ed-Gr] で提示された二次曲面バンドルのチャーン環計算に必要な是正は何か？

主な発見

• 本稿は、$G_2$ フラッグバンドル内のシューベルト局所の明示的チャーン類の公式を提示し、$E_q/E_{q-1}$ および $F_p/F_{p-1}$ のラインバンドルのチャーン類の多項式として表現する。
• 本稿は、$X$ 上の $G_2$ フラッグバンドルのチャーン環が整数表現をもつことを証明し、理論上の重要な問題を解決する。
• W. グラハムの提示した有理コhomology類は整数的であることが示され、その是正は $A^1X$ 内の $2$- torsion クラス $\tau = c_1(F^\perp / F)$ に起因する。
• [Ed-Gr] の是正が確立された：二次曲面バンドルのチャーン環において、$h^n = 2f + \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} c_k(F) h^{n-k}$ が成り立つ。ここで $f$ はファイバーのクラス、$h$ はハイパーフラットクラスである。
• 公式 $a_k = -c_k(V/F^\perp) = (-1)^{k+1} c_k(F)$ が導出され、是正項の整数性が確認される。
• 本稿は、オクタニオンと整合性を持つ形式を用いて $G_2$ フラッグ多様体の新しい幾何的モデルを構成し、そのシューベルト多様体の新規な記述を提供する。