[論文レビュー] Chern classes and Gromov--Witten theory of projective bundles

Honglu Fan|arXiv (Cornell University)|May 21, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、滑らかで射影的な多様体 $S$ 上の射影バンドル $\mathbb{P}(V)$ の Gromov–Witten 理論が、基底 $S$ の Gromov–Witten 不変量とベクトルバンドル $V$ の全チャーン類 $c(V)$ によって完全に決定されることを確立する。$V$ を $\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O})$ にコンパクト化することでマスタースペースを構成し、仮想局所化を用いることで、$S$ と $c(V)$ の不変量から $\mathbb{P}(V)$ のすべての不変量を計算する普遍的な公式を導出し、Gromov–Witten 理論における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We prove that the Gromov--Witten theory (GWT) of a projective bundle can be determined by the Chern classes and the GWT of the base. It completely answers a question raised in a previous paper (arXiv:1607.00740). Its consequences include that the GWT of the blow-up of X at a smooth subvariety Z is uniquely determined by GWT of X, Z plus some topological data.

研究の動機と目的

• 以前の研究で提起された、射影バンドル $\mathbb{P}(V)$ の Gromov–Witten 不変量が、基底 $S$ の不変量と全チャーン類 $c(V)$ によって一意に決定されるかどうかという問いに答えること。
• $V$ が分解可能であるか、トーラス作用を備えているかを仮定しない一般の方法を構築し、$\mathbb{P}(V)$ の Gromov–Witten 不変量を計算すること。
• 結果を応用して、例外除算の不変量に関する入力データを不要にするように、Gromov–Witten 理論における blow-up 公式を精緻化すること。
• 射影バンドル構成における Gromov–Witten 理論の函手性を普遍的原則として確立すること。

提案手法

• $V$ を $\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O})$ にコンパクト化することで、$\mathbb{C}^*$-作用を可能にするマスタースペース $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O}), \beta)$ を構成する。
• $\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O})$ への安定写像のモジュライ空間に仮想局所化を適用し、仮想次元未満の次数のコホモロジー類の積分により、$S$ と $\mathbb{P}(V)$ の不変量の間の関係を導出する。
• 得られた関係式を用いて、$S$ の不変量と $V$ のチャーン類から、$\mathbb{P}(V)$ のすべての Gromov–Witten 不変量を再帰的に決定する。
• $c(V_1) = c(V_2)$ のとき、$\mathbb{P}(V_1)$ と $\mathbb{P}(V_2)$ のコホモロジー群および曲線類群を同一視する自然な同型写像 $\mathfrak{F}$ と $\Psi$ を定義し、チャーン類の同値性のもとでの不変量の不変性を保証する。
• 分岐公式および法線コーンへの変形を用いて、結果を blown-up に拡張し、$\tilde{Y}$ の不変量が $Y$、$Z$、および $c(N_{Z/Y})$ の不変量によって決定されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影バンドル $\mathbb{P}(V)$ の Gromov–Witten 理論は、基底 $S$ の不変量と全チャーン類 $c(V)$ によって一意に決定可能か？
• RQ2 ベクトルバンドルが分解可能でない場合でも、チャーン類の同値性に関する Gromov–Witten 不変量の不変性は、すべての生成数において成り立つか？
• RQ3 Gromov–Witten 理論における blow-up 公式は、例外除算の不変量の入力データを排除できるように精緻化可能か？
• RQ4 射影バンドル構成における Gromov–Witten 理論の函手性に対して、普遍的原則が存在するか？

主な発見

• $\mathbb{P}(V)$ の Gromov–Witten 不変量は、$V$ の分解型にかかわらず、基底 $S$ の不変量と全チャーン類 $c(V)$ によって完全に決定される。
• $c(V_1) = c(V_2)$ のとき、コホモロジーと曲線類に自然な同型写像 $\mathfrak{F}$ と $\Psi$ を介して、$\mathbb{P}(V_1)$ と $\mathbb{P}(V_2)$ の Gromov–Witten 不変量が同型である。
• この結果により、$Z$ を滑らかな部分多様体として $Y$ に blown up した $\tilde{Y}$ の Gromov–Witten 理論は、$Y$ と $Z$ の不変量に加え、$c_i(N_{Z/Y})$ 及びそのコホモロジー的引き戻し構造によって完全に決定されることが示唆される。
• 従来の blow-up 公式では $\mathbb{P}(N_{Z/Y} \oplus \mathcal{O})$ の不変量を入力として必要としていたが、これらは今や $c(N_{Z/Y})$ と $Z$ の不変量から決定可能であるため、冗長である。
• マスタースペース $\mathbb{P}(V\oplus\mathcal{O})$ と仮想局所化を用いる方法により、等置換局所化や分解仮定に依存せずに、一様に不変量を計算可能である。