[論文レビュー] Chern classes, K-theory and Landweber exactness over nonregular base schemes

Niko Naumann, Markus Spitzweck+1 more|ArXiv.org|Sep 1, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、任意のネーター的基底スキーム（有限Kruull次元）上で代数的コボルディズムスpectrum MGL の普遍性とモチビックLandweber正確関手定理を確立し、正則性の仮定を不要にした。また、ボット要素によるLandweber正確拡張を通じて、モチビックホモトピー代数的K理論スペクトルKGLがMGLと同型であることを証明し、KGLがLandweber正確理論として実現されることの簡潔な証明を提供した。

ABSTRACT

The purpose of this paper is twofold. First, we use the motivic Landweber exact functor theorem to deduce that the Bott inverted infinite projective space is homotopy algebraic $K$-theory. The argument is considerably shorther than any other known proofs and serves well as an illustration of the effectiveness of Landweber exactness. Second, we dispense with the regularity assumption on the base scheme which is often implicitly required in the notion of oriented motivic ring spectra. The latter allows us to verify the motivic Landweber exact functor theorem and the universal property of the algebraic cobordism spectrum for every noetherian base scheme of finite Krull dimension.

研究の動機と目的

• モチビックLandweber正確関手定理を正則でない基底スキームへ拡張し、方向付きモチビック環スペクトルにおいて一般的に暗黙のうちに仮定されていた正則性の仮定を排除すること。
• モチビックK理論スペクトルKGLがボット要素によるMGLのLandweber正確拡張と同型であることを証明すること。
• 有限Kruull次元のネーター的基底スキーム上でMGLの普遍性を、正則性の要請なしに確立すること。
• ボット要素で反転させた無限次元射影空間とホモトピー代数的K理論との同型を、Landweber正確性を用いてより短く概念的に証明すること。

提案手法

• モチビックLandweber正確関手定理を適用し、ボット要素を介したMGLのLandweber正確拡張を表すTate対象LKをモチビック安定ホモトピー圏SH(S)において構成する。
• KGLがTate対象であり、乗法的フォーマル群法則を持つ標準的同相性を備えていることを利用して、MGL-加群スペクトルの間の写像Φ: LK → KGLを構成する。
• Brown圏SH(S)TにおけるBrownの表現定理を用い、写像Φがモチビック安定ホモトピー群に同型を誘導するならば、Φが同型であることを示す。
• 誘導されるホモトピー群の写像がMGL-ホモロジーを通じて因数分解されることを活用し、MGL-ホモロジーを介した再び引き戻しの議論により同型性を比較する。
• Thom同型定理とMGLの普遍性を用い、モチビック環スペクトルE上の方向性を、MGLからEへの写像に帰着する。
• MGLの普遍性を適用し、写像φ: MGL → Eへの方向性の割り当てが双対写像であることを示し、逆写像は普遍的Thom類の引き戻しによって与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則性仮定なしに、モチビックLandweber正確関手定理を正則でない基底スキームへ拡張できるか？
• RQ2 任意の有限Kruull次元のネーター的基底スキーム上で、モチビックK理論スペクトルKGLはボット要素によるMGLのLandweber正確拡張と同型であるか？
• RQ3 代数的コボルディズムスペクトルMGLの普遍性は正則でない基底スキームに対しても成立するか？
• RQ4 ボット要素で反転させた無限次元射影空間とホモトピー代数的K理論との同型は、より短く概念的な方法でLandweber正確性を用いて確立できるか？

主な発見

• モチビックLandweber正確関手定理は、正則でない場合を含め、任意の有限Kruull次元のネーター的基底スキーム上で成立する。
• ボット要素によるMGLのLandweber正確拡張として構成されたスペクトルLKは、SH(S)においてモチビックK理論スペクトルKGLと同型である。
• 写像Φ: LK → KGLは、SH(S)において同型である。これは、MGL-ホモロジーを通じた再び引き戻しの議論により、モチビック安定ホモトピー群に同型を誘導することが確認されたためである。
• MGLの普遍性は、任意の有限Kruull次元のネーター的基底スキーム上で成立する：モチビック環スペクトルE上の方向性の集合は、MGLからEへの写像の集合と双対写像である。
• この構成により、ボット要素で反転させた無限次元射影空間がホモトピー代数的K理論を実現することの短い証明が得られた。
• LKとKGLとの同型は、基底変換に沿った引き戻しと整合する。両方のスペクトルは、射影的モチビックモデル構造における導来引き戻しと整合する。