[論文レビュー] Chern connection of a pseudo-Finsler metric as a family of affine connections

Miguel Ángel Javaloyes|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Advanced Differential Geometry Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多様体 M 上の非零ベクトル場 V によってインデックス付けられるアフィン接続 ∇⁰ の族として、擬フェンスラー計量のチャーン接続を再解釈する。∇⁰ の曲率テンソル R⁰ が、V が測地線場であるとき、測地線に沿ってフラッグ曲率作用素と一致することを証明する。主な貢献は、ジャコビ作用素を通じて曲率 R⁰ と古典的フラッグ曲率を結ぶ座標に依存しない、グローバルな枠組みを確立したことである。これにより、フェンスラー幾何学におけるグローバルな変分法的手法の適用が可能になる。

ABSTRACT

We consider the Chern connection of a (conic) pseudo-Finsler manifold $(M,L)$ as a linear connection $\ abla^V$ on any open subset $\\Omega\\subset M$ associated to any vector field $V$ on $\\Omega$ which is non-zero everywhere. This connection is torsion-free and almost metric compatible with respect to the fundamental tensor $g$. Then we show some properties of the curvature tensor $R^V$ associated to $\ abla^V$ and in particular we prove that the Jacobi operator of $R^V$ along a geodesic coincides with the one given by the Chern curvature.

研究の動機と目的

• 多様体 M 上の非零ベクトル場 V に関連するアフィン接続 ∇⁰ の族として、チャーン接続を再解釈することにより、フェンスラー幾何学のグローバルかつ座標に依存しない枠組みを構築すること。
• 多様体 M 上の非零ベクトル場 V に関連する接続 ∇⁰ の曲率テンソル R⁰ の特徴づけ。
• 特に V が測地線場でない場合に、曲率 R⁰ と擬フェンスラー計量の古典的フラッグ曲率との明確な関係を確立すること。
• 測地線に沿った R⁰ のジャコビ作用素が、スリット接空間束上の標準的チャーン接続から得られるものと一致することを示すこと。
• アフィン接続 ∇⁰ を通じて、エネルギーの第一および第二変分といったグローバル微分幾何学的手法（例：第一および第二変分）をフェンスラー計量に適用可能にする。

提案手法

• 開錐集合 A ⊂ TM 上で定義され、非退化な基本テンソル g_v を持つ、2次同次かつ鋭錐関数である擬フェンスラー計量 L を定義する。
• L の3階微分として定義されるカルタンテンソル C_v を導入し、非リーマン的構造を符号化する。
• 非零ベクトル場 V に関連する、開集合 Ω ⊂ M 上のアフィン接続 ∇⁰ を構成する。この接続は捩れがなく、ほぼ g-適合である。
• 基準ベクトル場 V を持つ曲線 γ 沿いでの共変微分 D⁰_γ を定義し、平行移動および曲率計算を可能にする。
• クリストッフェル記号および非線形接続係数 N_k^p を用いた標準的公式により、∇⁰ の曲率テンソル R⁰ を導出する。
• 速度 v に対する測地線 γ_v に対して、曲率 R⁰(γ_v) がチャーン曲率テンソルに補正項 H_γ を加えたものに一致することを証明する。この補正項 H_γ は、γ_v が測地線であるときには消える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬フェンスラー計量のチャーン接続を、基底多様体上のアフィン接続の族としてどのように再解釈できるか。
• RQ2 接続 ∇⁰ に関連する曲率テンソル R⁰ の対称性および代数的性質は何か。
• RQ3 基準ベクトル場 V が測地線でない場合、曲率 R⁰ と古典的フラッグ曲率との関係は何か。
• RQ4 測地線に沿った R⁰ のジャコビ作用素が、スリット接空間束上の標準的チャーン接続から得られるものと一致するかを示せるか。
• RQ5 座標に依存しないグローバルな方法で、曲率 R⁰ および接続 ∇⁰ を用いてフラッグ曲率を計算できるか。

主な発見

• アフィン接続 ∇⁰ の曲率テンソル R⁰ は、最初の2つの引数に関して対称であり、第一ビアンキ恒等式を満たすため、標準的な曲率作用素としての性質を持つ。
• 速度 v に対する測地線 γ_v に対して、∇⁰ の曲率 R⁰(γ_v) はフラッグ曲率作用素と一致する。これは、測地線条件により補正項 H_γ が消えるためである。
• フラッグ曲率 K_v(u) は、K_v(u) = g_v(R⁰(γ_v)(v,u)u,v) / [L(v)g_v(u,u) - g_v(v,u)²] という式で与えられ、R⁰ が標準的フラッグ曲率を計算できることを示している。
• 曲率分解における補正項 H_γ は非測地的挙動を表しており、曲線が測地線であるときには正確に消えるため、既知の結果と整合的である。
• 測地線 γ_v に沿った R⁰ のジャコビ作用素は、π*ₐ(TM) 上のチャーン接続から得られるものと一致し、この構成のグローバルな一貫性が裏付けられる。
• この枠組みにより、エネルギー関数の第一および第二変分が、座標に依存しないグローバルな手法で計算可能となり、古典的リーマン幾何学的手法がフェンスラー幾何学へと拡張される。