[論文レビュー] Chern-Mather classes of toric varieties

Ragni Piene|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、トーリック多様体のチャーン・マザークラスをそのトーラス軌道と各軌道の一般点における局所オイラー障害を用いて表す公式を確立する。チャーン・シュ्यーツ・マクファーソンクラスの公式と双対理論を用いて、マツイとタケウチによるトーリック超曲面の双対多様体の次数に関する結果の一般化と、別証明を与える。

ABSTRACT

The purpose of this short note is to prove a formula for the Chern-Mather classes of a toric variety in terms of its orbits and the local Euler obstructions at general points of each orbit (Theorem 2). We use the general definition of the Chern-Schwartz-MacPherson classes (see [7]) and their special expression in case of a toric variety (see [2]). As a corollary, we obtain a formula by Matsui-Takeuchi [8, Corollary 1.6]. Alternatively, one could deduce the formula of Theorem 2 from the Matsui-Takeuchi formula, by using our general result [11, Theoreme 3] for the degree of the polar varieties in terms of the Chern-Mather classes.

研究の動機と目的

• トーリック多様体のチャーン・マザークラスをそのトーラス軌道と局所オイラー障害を用いて閉形式で表すこと。
• マツイ＝タケウチによるトーリック超曲面の双対多様体の次数に関する公式に対する別証明を提供すること。
• トーリック幾何の文脈において、極小多様体の理論とチャーン・マザークラスの理論を統一すること。
• 軌道分解を用いて、チャーン・シューツ・マクファーソンクラス理論を非正規トーリック多様体へ拡張すること。

提案手法

• ナッシュ変換と、接空間のグラスマン多様体上の双対化層とタウトロジカルバンドルを用いたチャーン・マザークラスの定義を利用する。
• 局所オイラー障害によるサイクルと可解関数の間の同型を応用し、$ T^{-1}(\mathbf{1}_X) $ を、オイラー障害を係数に持つ軌道の和として定義する。
• 既知の公式 $ c^{\operatorname{MP}}(X) = \sum_{\alpha} [\overline{X}_{\alpha}] $ を用い、トーリック多様体のチャーン・シューツ・マクファーソンクラスを扱う。
• 次元に関する帰納法を用い、$ \overline{X}_\alpha $ の閉包内の軌道を用いて $ c^M(\overline{X}_\alpha) $ を再帰的に表現する。
• [MR1074588] の極小クラスの公式を適用し、チャーン・マザークラスと極小多様体の次数との関係を確立する。
• 双対多様体の次数 $ \deg X^\vee $ を、多面体の面の和として表し、$ (-1)^{\operatorname{codim}F_\alpha} (\dim F_\alpha + 1) \cdot \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) \cdot \operatorname{Vol}_\mathbb{Z}(F_\alpha) $ で重みづけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック多様体のチャーン・マザークラスは、その軌道分解と局所オイラー障害を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 マツイ＝タケウチによるトーリック超曲面の双対多様体の次数に関する公式は、チャーン・マザークラスの一般公式から導出可能か？
• RQ3 局所オイラー障害は、特異トーリック多様体の特性類を計算する上で果たす役割は何か？
• RQ4 極小多様体とその次数は、トーリック幾何における定義多面体の組合せ論とどのように関係するか？

主な発見

• トーリック多様体 $ X $ のチャーン・マザークラスは、$ c^M(X) = \sum_{\alpha} \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) [\overline{X}_\alpha] $ で与えられ、ここで和はすべてのトーラス軌道を走り、$ \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) $ は軌道 $ X_\alpha $ の一般点における局所オイラー障害である。
• 極小多様体 $ \mu_k $ の次数は、$ \mu_k = \sum_{i=0}^k (-1)^i \binom{n-i+1}{n-k+1} \sum_{\alpha: \operatorname{codim} X_\alpha = i} \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) \cdot \operatorname{Vol}_\mathbb{Z}(F_\alpha) $ で与えられる。
• 双対多様体の次数は $ \deg X^\vee = \sum_{F_\alpha \preceq P} (-1)^{\operatorname{codim} F_\alpha} (\dim F_\alpha + 1) \cdot \operatorname{Eu}_X(X_\alpha) \cdot \operatorname{Vol}_\mathbb{Z}(F_\alpha) $ で与えられ、マツイ＝タケウチの補題1.6を回復する。
• 二重直線と二つのピンチ点をもつ立方曲面に対して、$ \deg X_A^\vee = 3 $ が得られ、非ピラミッド型トーリック超曲面の自己双対性と整合する。
• 非一般的射影の例では、$ \deg X_A^\vee = 6 $、$ \deg X_P^\vee = 7 $ となり、双対次数が非一般的射影で保存されないことが示される。