[論文レビュー] Chern-Schwartz-MacPherson Class of Determinantal Varieties

Xiping Zhang|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、核次元が少なくとも $k$ である $m \times n$ 行列の集合として定義される行列式的多様体 $\alpha_{m,n,k}$ のチャーン・シュワーツ・マクファーソン（CSM）クラスを、グラスマン多様体上の射影バンドルとして実現される特異点の解消を用いて計算する。主な貢献は、関手性とグラスマン多様体の幾何学を活用した $c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$ の明示的公式であり、これはマカウレイ2で実装可能であり、特異点のない部分における効果性と消滅に関する予想を含む。

ABSTRACT

For $m\geq n$, let $ au_{m,n,k}$ be the set of $m imes n$ matrices with kernel dimension $\ge k$. It is viewed as a subvariety of the projective space $\mathbb{P}^{mn-1}$ of nonzero $m imes n$ matrices up to scalar. In most cases $ au_{m,n,k}$ is singular, and its singular locus is $ au_{m,n,k+1}$. In this note we compute its Chern-Schwartz-MacPherson class $c_{SM}( au_{m,n,k})$ by using a resolution of singularities $ u\colon \hat au_{m,n,k} o au_{m,n,k} $, which may also be realized as a projective bundle over a Grassmannian. By the functoriality of $c_{SM}$ class, we can relate $c_{SM}( au_{m,n,k})$ to the pushforward $ u_*c_{SM}(\hat au_{m,n,k})$, and the Grassmanian plays an important role in the computation. Our formula can be easily implemented in Macaulay2. On the basis of explicit computations in low dimension, we formulate conjectures concerning the effectivity of the classes and the vanishing of specific terms in the $c_{SM}$ classes of the nonsingular part of the loci $ au_{m,n,k}$.

研究の動機と目的

• 特異な行列式的多様体 $\alpha_{m,n,k}$、すなわち核次元が少なくとも $k$ である $m \times n$ 行列の集合のチャーン・シュワーツ・マクファーソンクラスを計算すること。
• 行列式的多様体 $\alpha_{m,n,k}$ の特異点を、$k$ 次元部分空間をパラメトライズするグラスマン多様体上の射影バンドルとして実現する幾何的構成を用いて解消すること。
• CSMクラスの関手性を活用し、特異多様体のクラスをその解消の CSM クラスの押し出しに結びつけること。
• 特にマカウレイ2で実装可能な計算可能性を考慮した $c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$ の公式を導出すること。
• 多様体 $\alpha_{m,n,k}$ の特異点のない部分における項の効果性と消滅に関する予想を提示すること。

提案手法

• 特異点の解消 $\tilde{\alpha}_{m,n,k} \to \alpha_{m,n,k}$ を用い、これは $k$ 次元部分空間をパラメトライズするグラスマン多様体上の射影バンドルとして構成される。
• チャーン・シュワーツ・マクファーソンクラスの関手性を適用し、$c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$ を解消写像に沿った $c_{\text{SM}}(\tilde{\alpha}_{m,n,k})$ の押し出しとして表現する。
• グラスマン多様体上の既知の交線型理論を活用し、射影バンドル構造を介して押し出しを計算する。
• 解消の構造を活用して、CSMクラスの計算をグラスマン多様体上のシューベルト計算の問題に還元する。
• 得られた公式をマカウレイ2に実装し、低次元の場合の明示的計算を可能にする。
• 低次元計算で観察されたパターンに基づき、$\alpha_{m,n,k}$ の特異点のない部分における CSM クラスの項の効果性と消滅に関する予想を立てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異点を有する行列式的多様体 $\alpha_{m,n,k}$ のチャーン・シュワーツ・マクファーソンクラスは、その特異点の存在を考慮してどのように計算できるか？
• RQ2 $\alpha_{m,n,k}$ の特異点の解消とその CSM クラスの計算を可能にするグラスマン多様体の役割は何か？
• RQ3 $\alpha_{m,n,k}$ の CSM クラスは、グラスマン多様体上の射影バンドルである解消からの押し出しとして表現可能か？
• RQ4 $\alpha_{m,n,k}$ の特異点のない部分の CSM クラスが示す構造的性質（例えば効果性や消滅）は何か？
• RQ5 得られた公式は、マカウレイ2のような計算代数幾何ソフトウェアでどのように体系的に実装可能か？

主な発見

• チャーン・シュワーツ・マクファーソンクラス $c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$ は、グラスマン多様体上の射影バンドルとして実現される解消を用いて計算され、明示的な計算が可能である。
• 公式 $c_{\text{SM}}(\alpha_{m,n,k})$ は、CSMクラスの関手性と解消写像に沿った押し出しを用いて導出された。
• 解消写像 $\tilde{\alpha}_{m,n,k} \to \alpha_{m,n,k}$ を通じて、特異多様体の CSM クラスが滑らかな解消の CSM クラスの押し出しとして表現可能である。
• 得られた公式はマカウレイ2で実装可能であり、低次元の場合の明示的計算を容易にする。
• 低次元計算の観察に基づき、著者たちは $\alpha_{m,n,k}$ の特異点のない部分における CSM クラスの効果性と特定の項の消滅に関する予想を提示した。
• グラスマン多様体は、解消の幾何を整理し、交線型的手法を用いた計算を可能にする中心的役割を果たしている。