[論文レビュー] Chern-Simons-Witten Theory as a Topological Fermi Liquid

Michael R. Douglas|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 1994

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、トーラス上のU(N) Chern-Simons-Witten理論を、有限Nおよびkにおける自由フェルミオン系として再解釈する。ヒルベルト空間および観測可能量が、有限Nおよびkにおける群量子力学のそれらに直接写像されることを示す。大N極限では、2次元トーラスを位相空間とする古典的フェルミ液体が記述され、W∞代数およびウィルスンループ演算子を通じてトポロジカルなストリング場理論の解釈が可能になるが、1/Nの補正項がYang-Mills 2とは根本的に異なる点を露呈し、普遍的なストリング再定式化に疑問を呈する。

ABSTRACT

We reinterpret U(N) Chern-Simons-Witten theory quantized on a torus as a free fermion system. Its Hilbert space and some observables are simply related to those of group quantum mechanics, even at finite N and k. Its large N limit can be described using techniques developed for matrix quantum mechanics and two-dimensional Yang-Mills theory. We discuss the bosonization of this theory, which for YM_2 gave a precise interpretation of Wilson loop operators in terms of string creation and annihilation operators, and examine its consequences for a string interpretation here. The formalism seems entirely adequate for the leading large N results and in a sense can be thought of as a `classical string field theory'. In considering subleading orders in 1/N, we identify some major differences between CSW and YM_2, which must be dealt with to find a CSW gauge string interpretation. Although these particular differences are probably not relevant for `QCD string,' they do illustrate some of the issues there, and we comment on this. We also propose an approach to dealing with large N transitions.

研究の動機と目的

• T²×I 上のU(N) Chern-Simons-Witten理論を有限Nおよびkにおいて自由フェルミオン系として再解釈すること。
• このフェルミオン的定式化を大N極限に拡張し、位相空間がトーラスである古典的フェルミ液体として理論を記述すること。
• CSW理論に2次元Yang-Mills理論と同様のストリング場理論的解釈が一貫して定式化可能かどうかを調査すること。
• CSW理論とYang-Mills 2との間で、1/Nの補正項において顕著な構造的差異を特定・分析すること、特にボソン化がO(N)自由エネルギー寄与を捉えきれない理由を明らかにすること。
• 大N遷移への影響を検討し、トポロジカルゲージ理論における3次元的共変なストリング定式化の可能性を検討すること。

提案手法

• Weyl積分公式を用いて、CSW理論のヒルベルト空間を自由フェルミオン系のそれへ写像し、波動関数を反対称化し、ハミルトニアンを自由化する。
• 行列量子力学および2次元Yang-Mills理論の技法を応用し、フェルミ面が古典的になる大N極限を分析する。このとき、観測可能量は第二量子化によって記述される。
• ウィルスンループ演算子を古典的ストリング場のモードとして再解釈し、π₁(T²)上のシンプレクティック構造がa-およびb-サイクルループの共役性を示唆する。
• W∞代数を用いて一般のウィルスンループを再定式化し、大N極限における相関関数を計算する。
• T²上のモジュラー変換を分析し、フェルミオン的視点からZ(S³)の分配関数を導出する。
• ストリング解釈がバックグラウンドのフェルミ面に依存する混合定式化を提案し、共変な再定式化の必要性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T²×I 上のU(N) Chern-Simons-Witten理論は、有限Nおよびkにおいて、自由フェルミオン系に正確に写像可能か。この写像は観測可能量をどのように保存するか。
• RQ2 CSW理論の大N極限において、2次元Yang-Mills理論と同様のストリング場理論的解釈—特にウィルスンループ演算子がストリングモードとして機能する—が一貫して可能か。
• RQ3 CSW理論における1/Nの補正項—特にT³上でのO(N)自由エネルギーに現れるもの—が、ボソン化に基づくストリング再定式化を拒むのはなぜか。これはYang-Mills 2とは異なる。
• RQ4 CSW理論と2次元Yang-Mills理論との間で、普遍的なストリング解釈を妨げる根本的な構造的差異は何か。これにより、高次元での大N遷移にどのような含みがあるか。
• RQ5 CSW理論に対して、3次元的共変なストリング定式化を構築可能か。それとも、理論は本質的にこのような記述と不整合を示すのか。

主な発見

• Weyl積分公式による再定式化を通じて、T²×I 上のU(N) Chern-Simons-Witten理論のヒルベルト空間および特定の観測可能量は、有限Nおよびkにおいて自由フェルミオン系のそれらと正確に同型である。
• 固定されたx = N/(k+N)における大N極限では、位相空間が2次元トーラスである古典的フェルミ液体が理論によって記述され、フェルミ面によって完全に特徴づけられる。
• ウィルスンループ演算子はW∞代数を生成し、大N極限においては第二量子化技法を用いて相関関数を計算可能である。
• T³上の分配関数はZ(T³) = (N+k choose k) で与えられ、自由エネルギーF(T³)はO(N)から始まり、単純なボソン化されたストリング場理論と整合しないエントロピー的挙動を示す。
• ボソン化フレームワークでO(N)自由エネルギー項を再現できないことから、すべてのフェルミ面配置に普遍的に適用可能なストリング再定式化はCSW理論には存在しないことが示唆され、2次元Yang-Mills理論とは異なる。
• 本論文は、大N極限の主要項においては古典的ストリング場理論の記述が可能であるが、O(N)励起状態および非摂動的フェルミ面変化を記述するには、完全な再定式化が課題であると結論づける。これにより、新しいタイプのストリング統計やストリング的自由度でない度数の自由度が必要となる可能性がある。