[論文レビュー] Chernoff's Theorem and Discrete Time Approximations of Brownian Motion on Manifolds

O. G. Smolyanov, H. von Weizsaecker+1 more|ArXiv.org|Sep 9, 2004

advanced mathematical theories参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体 $M$ に埋め込まれたリーマン部分多様体 $L$ 上のブラウン運動の離散時間近似について、チェルノフの定理と経路空間上の条件付き確率を用いて収束結果を確立する。$M$ 上のブラウン運動を離散時刻で $L$ 上に留まるように条件づけた確率測度が、$L$-値の経路上の測度に弱収束することを示し、その密度は $L$ のスカラー曲率、平均曲率、および断面曲率を明示的に含む。

ABSTRACT

Let (S(t)) be a one-parameter family S = (S(t)) of positive integral operators on a locally compact space L. For a possibly non-uniform partition of [0,1] define a measure on the path space C([0,1],L) by using a) S(dt) for the transition between cosecutive partition times of distance dt, and b) a suitable continuous interpolation scheme (e.g. Brownian bridges or geodesics). If necessary normalize to get a probability measure. We prove a version of Chernoff's theorem of semigroup theory and tighness results which together yield convergence in law of such measures as the partition gets finer. In particular let L be a closed smooth submanifold of a Riemannian manifold M. We prove convergence of Brownian motion on M, conditioned to visit L at all partition times, to a process on L whose law has a Radon-Nikodym density with repect to Brownian motion on L which contains scalar, mean and sectional curvature terms. Various approximation schemes for Brownian motion are also given. These results substantially extend earlier work by the authors and by Andersson and Driver.

研究の動機と目的

• 非一様分割および多様体上の正の積分作用素に対してチェルノフの定理を拡張すること。
• 条件付き処理と補間を用いて、部分多様体上の離散時間近似の弱収束を確立すること。
• 極限測度の $L$ 上のウィener測度に対するラドン＝ニコディム密度の明示的表現を導出すること。
• ヒートカーネルの漸近的解析を通じて、極限測度がスカラー曲率、平均曲率、断面曲率といった幾何的不変量とどのように関係するかを明らかにすること。
• 有限次元カーネルを用いた、リーマン多様体上の表面測度および条件付き過程の近似の厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 局所コン pact 空間上の非一様分割および正の積分作用素に対して一般化されたチェルノフの定理を用いる。
• 作用素 $S(t)$ の繰り返し適用による経路空間上の有限測度を構成し、その後、測地線またはブラウン運動ブリッジを用いて連続的補間を行う。
• $C_L[0,1]$ や $D_L[0,1]$ 上での弱収束のためのタイトネス結果を、大偏差推定と半群論に依拠して適用する。
• ウィックの公式とガウス積分の漸近的解析を用いて、擬似ガウスカーネルの短時間挙動を計算する。
• 局所座標における正規化定数のテイラー展開を用いて、曲率依存する正規化係数を導出する。
• ヒートカーネルを $M$ から $L$ に制限したカーネル $q(t,x,y)$ を用い、極限表面測度手順により条件付き分布を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体上の正の積分作用素族が、離散時間反復と経路補間によって、Feller過程を生成するための条件は何か？
• RQ2 大域多様体 $M$ 上のブラウン運動が、離散時刻で部分多様体 $L$ 上に留まるように条件づけられたとき、分割が細かくなるにつれてその分布はどのように収束するか？
• RQ3 極限測度が $L$-値経路に沿って標準的ブラウン運動の測度に対して、ラドン＝ニコディム密度として明示的に得られるか？
• RQ4 ヒートカーネルの制限の場合、$L$ のスカラー曲率、平均曲率、断面曲率は、極限測度の密度にどのように現れるか？
• RQ5 初期カーネルの正規化を要件としないで、条件付き測度の収束を確立できるか。また、グローバル正規化（構築後に正規化）とローカル正規化（各カーネルごとに正規化）の違いは、極限にどのように影響するか？

主な発見

• 正の積分作用素 $S(t)$ の繰り返し適用と測地線補間により構築された部分多様体 $L$ 上のブラウン運動の離散時間近似は、分割のメッシュがゼロに近づくにつれて、$C_L[0,1]$ 上の測度に弱収束する。
• 極限測度は $L$-値ブラウン運動の分布と同等であり、そのラドン＝ニコディム密度は $\exp\left(\int_0^1 D(\omega(s))\,ds\right)$ で与えられる。ここで $D$ は $L$ のスカラー曲率、平均曲率、断面曲率を組み合わせた関数である。
• カーネル $q(t,x,y)$ が $M$ 上のヒートカーネルを $L$ に制限したものである場合、$M$-ブラウン運動が分割時刻で $L$ にピン留めされた条件付き分布は、$L$ 上で曲率依存する密度を持つ測度に弱収束する。
• グローバル正規化（構築後に正規化）とローカル正規化（各カーネルごとに正規化）の両方の下で収束が成立し、後者の場合、極限分布は等価となる。
• 本手法により、曲率不変量を用いて密度を明示的に計算可能であり、大域多様体上のブラウン運動が誘導する表面測度に関する結果の新しい証明が得られる。
• 大偏差推定と正規化の連続性に依拠して、近似測度のタイトネスが確立され、経路空間上での弱収束が保証される。