[論文レビュー] Chevalley-Weil Theorem and Subgroups of Class Groups

Yuri Bilu, Jean Gillibert|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、数体上の曲線のエタール被覆に対して、Chevalley-Weil定理の「絶対的」版を確立し、非分岐拡大への無限個の特殊化を証明する。類体論と単位根におけるヤコビアンの torsion 部分群を用いて、類群における任意に大きな $n$-ランクを持つ数体を構成する。従来の手法とは異なり、単位群の寄与を排除することで、顕著に改善された結果を得た。

ABSTRACT

We prove, under some mild hypothesis, that an étale cover of curves defined over a number field has infinitely many specializations into an everywhere unramified extension of number fields. This constitutes an "absolute" version of the Chevalley-Weil theorem. Using this result, we are able to generalize the techniques of Mestre, Levin and the second author for constructing and counting number fields with large class group.

研究の動機と目的

• 数体上の曲線のエタール被覆に対して、Chevalley-Weil定理の絶対的版を確立すること。
• 単位群のランクに依存しない、類群における大きな $n$-ランクを持つ無限個の数体拡大を構成すること。
• Mestre や Levin、Bilu の数体の類群を大きくするための手法を一般化・改善すること。
• 有界判別式を持つようなそのような数体の数について、定量的な下界を提示すること。
• 結果を円分体やフェルマー型曲線に適用し、$p$-ランクが大きな類群を持つ明示的な構成を生み出すこと。

提案手法

• 数体上の曲線のエタール被覆が、やや弱い仮定のもとで、常に非分岐拡大への無限個の特殊化を持つことを証明する。
• 類体論を用いて、特殊化体の類群の $n$-ランクと、曲線のヤコビアンにおける $μ_n$-torsion の関係を確立する。
• $\operatorname{rk}_{\mu_n}J(\mathcal{C})$ を、$\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$-部分加群として $\mu_n^r$ に同型となるものの最大ランクとして定義する。
• 主張のガロア被覆と特殊化の理論を用いて、特殊化体の類群がヤコビアンからの $μ_n$-torsion を引き継ぐことを保証する。
• 曲線 $\mathcal{C} \to \mathbb{P}^1$ の次数 $d$ の射影の定義関数 $t$ を用いて、特殊化をパラメトライズし、判別式の成長を制御する。
• 判別式 $\mathcal{D}(L/K) \leq X$ となるようなそのような体の数について、$cX^{\ell/(2m(d-1))}/\log X$ の定量的下界を導出する。ここで $\ell = [K:\mathbb{Q}]$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された次数の数体拡大で、単位群のランクに依存せずに、任意に大きな $n$-ランクをもつものが無限に存在することを示せるか？
• RQ2 従来の構成における単位群ランクの負の寄与を、新しいコhomological または類体論的アプローチによって排除できるか？
• RQ3 数体の類群の $n$-ランクは、基本体上の曲線のヤコビアンにおける $μ_n$-torsion によって、どの程度制御可能か？
• RQ4 固定された次数の拡大全体の中で、$n$-ランクが大きな類群をもつ数体の漸近的密度はどの程度か？
• RQ5 次数に対して線形に $p$-ランク類群を持つような、明示的な曲線族を構成できるか？

主な発見

• 任意の次数 $d$ に対して、$\operatorname{rk}_n\operatorname{Cl}(L) \geq \operatorname{rk}_{\mu_n}J(\mathcal{C}) + \operatorname{rk}_n\operatorname{Cl}(K)$ を満たす無限個の数体 $L/K$ が存在し、単位群のペナルティがない。
• 素数 $p \geq 3$ および $d \leq p-1$ に対して、$K$ が $\zeta_p$ を含むとき、$[L:K] = d$ かつ $\operatorname{rk}_p\operatorname{Cl}(L) \geq 3 + \operatorname{rk}_p\operatorname{Cl}(K)$ を満たす無限個の拡大 $L/K$ が存在する。
• $K$ が $\zeta_p$ を含むとき、曲線 $y^p = x^{d-1}(1-x)$ は $\operatorname{rk}_{\mu_p}J(\mathcal{C}) \geq d-1$ を満たし、これにより無限個の $L$ に対して $\operatorname{rk}_p\operatorname{Cl}(L) \geq d-1 + \operatorname{rk}_p\operatorname{Cl}(K)$ が成り立つ。
• 判別式 $\mathcal{D}(L/K) \leq X$ となるようなそのような体 $L$ の数は、$cX^{\ell/(2m(d-1))}/\log X$ 以上である。ここで $\ell = [K:\mathbb{Q}]$ であり、$c > 0$ は曲線および関数に依存する。
• 結果は Mestre の構成を回復・改善する：$K = \mathbb{Q}$ のとき、この手法により無限個の二次体 $L$ に対して $\operatorname{rk}_5\operatorname{Cl}(L) \geq 3$ が得られ、判別式 $X$ までに $cX^{\ell/22}$ 個のそのような体が存在する。
• 従来の Kummer理論的アプローチに見られる単位群項を回避するため、$K \neq \mathbb{Q}$ の場合にも適用可能である。