[論文レビュー] Chiral Anomalies and Topology

Jean Zinn‐Justin|ArXiv.org|Jan 28, 2002

Numerical methods for differential equations被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、正則化手法とインデックス定理を通じたトポロジカルな起源に注目して、量子場理論におけるキラル異常の包括的レビューを提供する。異常は、標準的な正則化がキラルゲージ対称性を保存できないことによるものであり、ディラック作用素のスペクトル性質およびCP(N−1)やSU(2)などのモデルにおけるゲージインスタントンと関連していることが示されている。

ABSTRACT

When a quantum field theory has a symmetry, global or local like in gauge theories, in the tree or classical approximation formal manipulations lead to believe that the symmetry can also be implemented in the full quantum theory, provided one uses the proper quantization rules. While this is often true, it is not a general property and therefore requires a proof because simple formal manipulations ignore the unavoidable divergences of perturbation theory. The existence of invariant regularizations allows solving the problem in most cases but the combination of gauge symmetry and chiral fermions leads to subtle issues. Depending on the specific group and field content, anomalies are found: obstructions to the quantization of chiral gauge symmetries.Because anomalies take the form of local polynomials in the fields, are linked to local group transformations, but vanish for global (rigid) transformations they have a topological character.In these notes we review various perturbative and non-perturbative regularization techniques, and show that they leave room for possible anomalies when both gauge fields and chiral fermions are present. We determine the form of anomalies in simple examples. We relate anomalies to the index of the Dirac operator in a gauge background. We exhibit gauge instantons that contribute to the anomaly in the example of the CP(N-1) models and SU(2) gauge theories. We briefly mentioned a few physical consequences. For many years the problem of anomalies had been discussed only within the framework of perturbation theory. New non-perturbative solutions based on lattice regularization have recently been proposed. We describe the so-called overlap and domain wall fermion formulations.

研究の動機と目的

• 古典的対称性の保存にもかかわらず、キラルゲージ対称性が常に量子化可能でない理由を明らかにすること。
• 異常発生の根本的要因を、UV発散および演算子の順序付けの曖昧さに起因する正則化スキームによるキラルゲージ対称性の保存不能性として特定すること。
• ゲージ背景におけるディラック作用素のインデックスと関連付けることで、異常をトポロジカル性質として確立すること。
• CP(N−1)およびSU(2)ゲージ理論などの特定のモデルにおいて、ゲージインスタントンが異常をどのように寄与するかを示すこと。
• チャーミカルフェルミオンの二重化問題を解消する非摂動的格子正則化法（オーバラップやドメインウォールフェルミオン）を導入し、それらの分析を行うこと。

提案手法

• 運動量カットオフや次元正則化を含む摂動的正則化手法をレビューし、それらがキラル対称性を保存できないことの分析を行う。
• 格子正則化が演算子の順序付けの曖昧さを解消する役割を果たす一方、フェルミオンの二重化のためキラル理論において制限を受けることの分析を行う。
• アティヤ＝シンガーのインデックス定理を適用し、ゲージ場背景における異常とディラック作用素のインデックスを関連付ける。
• キラルポテンシャルを有する1次元モデルにおいて、ディラック作用素のリゾルベントの解を明示的に構成し、スペクトル性質を研究する。
• ロンスキー法およびグリーン関数技法を用いて、波動関数の微分における不連続性を計算し、異常における非局所的構造を明らかにする。
• オーバラップおよびドメインウォールフェルミオン形式を非摂動的格子解法として導入し、キラル対称性を保存することができ、異常計算が可能となることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ標準的な正則化スキームが、量子場理論におけるキラルゲージ対称性を保存できないのか？
• RQ2 ゲージ場背景におけるディラック作用素のトポロジカルインデックスとキラル異常はどのように関連しているか？
• RQ3 CP(N−1)およびSU(2)ゲージ理論において、ゲージインスタントンが異常をどのように生成するか？
• RQ4 オーバラップやドメインウォールフェルミオンなどの非摂動的格子手法は、どのようにチャーミカルフェルミオンの二重化問題を解消し、異常を計算可能にするか？
• RQ5 等点におけるグリーン関数の微分の不連続性の物理的意味は何か？ そしてそれは異常とどのように関係するか？

主な発見

• 異常はゲージカレント発散における局所的多項式項として現れ、量子理論におけるキラルゲージ対称性の破綻を示している。
• 異常はトポロジカルに保護されており、アティヤ＝シンガーのインデックス定理が予言するように、ゲージ場背景におけるディラック作用素のインデックスに対応している。
• キラルポテンシャルを有する1次元モデルにおいて、ディラック作用素のリゾルベントの微分は等点で不連続性を示し、ロンスキーによって定量化され、これが直接的に異常を測定する。
• 等点におけるグリーン関数の微分の左および右極限の平均値は、波動関数の積およびゲージポテンシャルを含む非局所的表現となる。
• 質量ゼロ極限において、異常は波動関数の二乗の積分に比例し、これはゼロモードの密度に関連している。
• オーバラップおよびドメインウォールフェルミオン形式は、キラルフェルミオンの非摂動的格子実現を一貫して提供し、異常を正しく再現するとともに、二重化問題を回避する。