[論文レビュー] Chiral Symmetry and Lattice Fermions

David B. Kaplan|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2009

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、フェルミオンの二重化問題に対処するためのドメインウォールおよびオーバーラップフェルミオンを用いた、格子量子場理論におけるキラル対称性の実装の包括的な理論的枠組みを提示する。オーバーラップ作用素を用いて格子インデックス定理を確立し、正確なキラル対称性と異常マッチングを証明し、格子上でのキラルゲージ理論の定式化における課題と現在の制限を強調する。

ABSTRACT

The subject of these summer school lectures are (i) Chiral symmetry; (ii) Anomalies; (iii) Domain wall fermions; (iv) Overlap fermions and the Ginsparg-Wilson equation

研究の動機と目的

• フェルミオンの二重化が通常キラル対称性を破るため、格子上でのキラル対称性の保存という根本的課題に対処すること。
• ドメインウォールおよびオーバーラップフェルミオンが格子上での正確なキラル対称性と異常マッチングをどのように実現するかを説明すること。
• 連続体の異常およびトポロジカル電荷の非摂動的実現としての格子インデックス定理を確立すること。
• 現在の手法では一般のキラルゲージ理論、特に標準模型に対して格子上での定式化が依然として不可能であるという制限を評価すること。
• キラルゲージ理論における符号問題と密度が有限のQCDとの関連を強調すること。

提案手法

• 正確なキラル対称性を満たす格子ディラック作用素を構成するために、Ginsparg-Wilson方程式を用いる。
• 格子上での正確なゼロモードを保証するため、$ D = rac{1}{a} (1 + \text{sign}(D_{\text{W}})) $ で定義されるオーバーラップ作用素を適用する。
• トレース恒等式を用いて格子インデックス定理を導出する：$ \text{Tr} \big( \tilde{\rho} \tilde{\rho}^\top \big) = 2N_f(n_+^{(2)} - n_-^{(2)}) $ であり、固有値とトポロジカル電荷を結びつける。
• 異常が $ \text{Tr} \big( \tilde{\rho} \tilde{\rho}^\top \big) = 2(n_- - n_+) $ によって捉えられ、連続体の結果と一致することを示す。
• 異常キャンセレーションにおけるチャーミカルヤコビアンおよびフェルミオン行列式の位相の役割を分析する。
• Callan-Harveyメカニズムと、5次元有効理論におけるドメインウォールフェルミオンによるその格子実現をレビューする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオンの二重化問題があるにもかかわらず、格子上でのキラル対称性をどのように保存できるか？
• RQ2 オーバーラップ作用素は、格子上での正確なキラル対称性とインデックス定理を実現するために果たす役割は何か？
• RQ3 格子形式は、連続体の異常およびトポロジカル電荷をどのように再現するか？
• RQ4 なぜ現在の手法では一般の非アーベルキラルゲージ理論を格子上で正則化することが依然として不可能なのか？
• RQ5 キラルゲージ理論における符号問題と密度が有限のQCDとの間にどのような関連があるか？

主な発見

• オーバーラップ作用素はGinsparg-Wilson方程式を満たし、格子上での正確なキラル対称性と正しい異常マッチングを保証する。
• 格子インデックス定理が証明された：$ n_- - n_+ = \nu N_f $ であり、$ \nu $ はトポロジカル電荷、$ N_f $ はフェルミオンのフレーバー数である。
• フェルミオン行列式の位相が非自明であり、異常と直接関係しており、$ \text{Tr} \big( \tilde{\rho} \tilde{\rho}^\top \big) $ が異常を格子形式で捉えていることが示された。
• ドメインウォールフェルミオンは、キラル対称性およびCallan-Harveyメカニズムの5次元実現を提供し、キラルゼロモードがドメインウォールに局在化する。
• 進展はあったが、一般のキラルゲージ理論、特に標準模型に対して格子上での正則化を可能にする実用的手法は現在存在しない。
• キラルゲージ理論における符号問題が、密度が有限のQCDにおける符号問題と根本的に関連しており、共通の根本的課題を示唆している。