[論文レビュー] Chiron: A Set Theory with Types, Undefinedness, Quotation, and Evaluation

William M. Farmer|arXiv (Cornell University)|May 27, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 29被引用数 13

ひとこと要約

Chiron は、型理論、未定義値の取り扱い、引用および評価を用いた構文的推論を統合した集合論であり、数学の実用的形式化を可能にする。Chiron は NBG 集合論に依存型、ラムダ記法、および式に関する推論のメカニズムを拡張し、従来の論理よりも高い実用的表現力を達成する。

ABSTRACT

Chiron is a derivative of von-Neumann-Bernays-Gödel (NBG) set theory that is intended to be a practical, general-purpose logic for mechanizing mathematics. Unlike traditional set theories such as Zermelo-Fraenkel (ZF) and NBG, Chiron is equipped with a type system, lambda notation, and definite and indefinite description. The type system includes a universal type, dependent types, dependent function types, subtypes, and possibly empty types. Unlike traditional logics such as first-order logic and simple type theory, Chiron admits undefined terms that result, for example, from a function applied to an argument outside its domain or from an improper definite or indefinite description. The most noteworthy part of Chiron is its facility for reasoning about the syntax of expressions. Quotation is used to refer to a set called a construction that represents the syntactic structure of an expression, and evaluation is used to refer to the value of the expression that a construction represents. Using quotation and evaluation, syntactic side conditions, schemas, syntactic transformations used in deduction and computation rules, and other such things can be directly expressed in Chiron. This paper presents the syntax and semantics of Chiron, some definitions and simple examples illustrating its use, a proof system for Chiron, and a notion of an interpretation of one theory of Chiron in another.

研究の動機と目的

• 数学の機械的形式化に向けた、高い実用的表現力を有する汎用論理の設計。
• ZF や NBG のような伝統的集合論が関数や未定義項を直接表現する点で抱える制限の解消。
• 集合論的基盤に依存型やラムダ記法といった型理論的特徴を統合すること。
• 引用および評価を用いた構文的推論の明示的メカニズムの提供。
• 論理自体の中で構文的変換、スキーマ、計算規則を直接形式化することの実現。

提案手法

• ユニバーサル型、依存型、部分型を含む豊富な型システムを備えた NBG 集合論の拡張。
• 式、項、論理式、演算子のためのコンパクトな記法を備えた形式的記法の導入。
• 値の割り当てとモデル意味論の定義により、関数適用や記述子からの未定義項が自然に生じる仕組み。
• 引用を用いて構文的構造（構成）を集合として表現し、評価を用いて式の値を計算。
• Chiron における推論を支援する 25 個の推論規則および公理スキーマを備えた証明体系の構築。
• Chiron 内の異なる理論を関連付けるための解釈および擬似解釈の導入。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合論をどのように拡張すれば、依存型とラムダ記法を維持しつつも集合論に根ざしたままにできるか。
• RQ2 形式論理の中で、引用や評価といった構文的推論のためのメカニズムはどのように実現されるか。
• RQ3 部分関数や不適切な記述子から生じる未定義項を、形式的体系内で一貫して取り扱うにはどうすればよいか。
• RQ4 Chiron における推論を保証するための証明体系は、どのようにして健全性と完全性を満たすか。
• RQ5 Chiron の一つの理論を別の理論にどのように解釈できるか。これにより、数学のモジュラー形式化が可能になる。

主な発見

• Chiron は、依存型、依存関数型、部分型を備えた包括的な型システムをサポートし、数学的対象の正確な仕様化を可能にする。
• 意味論により未定義項をネイティブに取り扱い、金属的論理的回避策の必要性を回避する。
• 引用と評価により、スキーマや変換規則といった構文的構造を論理自体の中で直接表現可能。
• 証明体系は健全かつ完全であり、実用的証明を支援する 25 個の推論規則および公理スキーマを備える。
• 解釈と擬似解釈により、Chiron におけるモジュラー理論開発と理論比較のフレームワークが提供される。
• コンパクトな記法システムにより、複雑な数学的および論理的構造を読みやすく、簡潔に表現可能。