[論文レビュー] Choice numbers of graphs

Shai Gutner|ArXiv.org|Feb 15, 2008

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、グラフの$k$番目の選択数$ch_k(G)$を調査し、$(a:b)$-選択可能性を一般化してリスト色付けの性質を研究する。$k$が十分に大きい場合、$ch_k(G) \leq k(\chi(G) + \epsilon)$が成り立つことを示し、完全多部グラフに対してタイトな境界を確立するとともに、特定の向きや構造的性質（例えば、二部グラフ、三角形分割グラフ）を持つグラフが$k$-選択可能であることを証明する。主な貢献は、有向グラフにおける次数制約のもとで、適切な色分けを多項式時間で構成するアルゴリズムの開発である。

ABSTRACT

A solution to a problem of Erdős, Rubin and Taylor is obtained by showing that if a graph $G$ is $(a:b)$-choosable, and $c/d > a/b$, then $G$ is not necessarily $(c:d)$-choosable. The simplest case of another problem, stated by the same authors, is settled, proving that every 2-choosable graph is also $(4:2)$-choosable. Applying probabilistic methods, an upper bound for the $k^{th}$ choice number of a graph is given. We also prove that a directed graph with maximum outdegree $d$ and no odd directed cycle is $(k(d+1):k)$-choosable for every $k \geq 1$. Other results presented in this article are related to the strong choice number of graphs (a generalization of the strong chromatic number). We conclude with complexity analysis of some decision problems related to graph choosability.

研究の動機と目的

• $k \geq 1$に対して、選択数の概念を$k$番目の選択数$ch_k(G)$に一般化し、$(a:b)$-選択可能性を研究すること。
• $k$が増加する際の$ch_k(G)$の挙動を解明し、特に$\frac{c}{d} > \frac{a}{b}$ならば$(c:d)$-選択可能であるかという未解決問題を解決すること。
• 完全多部グラフや構造的グラフ（ランダムグラフ、平面グラフを含む）に対する$ch_k(G)$のタイトな上界を確立すること。
• 有向グラフで閉路がなく出次数が有界な場合に、適切な$k$-色分けを多項式時間で構成するアルゴリズムを開発すること。
• コア性質、最大平均次数、誘導部分グラフの次数といったグラフ構造の観点から、$k$-選択可能性を特徴づけること。

提案手法

• 完全$r$部グラフ$K_{m_1,\dots,m_r}$に対する$ch_k(G)$の上界を導出するために、極値的グラフ理論と確率的技法を用いる。
• 一般化された向きに基づく定理を適用：グラフ$G$が奇数長の有向閉路を持たない向き$D$をもち、最大出次数が$d$であるならば、$G$は$(k(d+1):k)$-選択可能である。
• 集合族を互いに素な色分け可能な部分集合に分解する帰納的分割技法（補題7.2）を用い、$k$-選択可能な色分けを可能にする。
• $(c:d)$-選択可能性が$\frac{c}{d} > \frac{a}{b}$を満たしても成り立たないことを示すために、明示的な反例を構成する。
• 部分グラフ$H$について$|E(H)|/|V(H)|$の最大値として定義される最大平均次数$M(G)$の概念を用い、二部グラフおよび平面グラフにおける$ch_k(G)$の上界を導出する。
• 強選択数の概念を用いて、三角形分割グラフでは$ch_k(G) = k\chi(G)$が成り立つことを証明し、$C_n$-自由グラフにおけるリスト色数予想を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$が$(a:b)$-選択可能であるならば、$\frac{c}{d} > \frac{a}{b}$を満たすすべての$c,d$に対して$(c:d)$-選択可能であるか？
• RQ2 $k \to \infty$のとき、$ch_k(G)$は漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ3 完全$r$部グラフ$K_{m_1,\dots,m_r}$について、$ch_k(G)$のタイトな上界は$r$、$m_i$、$k$の関数としてどのように表されるか？
• RQ4 向きに基づく構造的制約によって、$k$-選択可能性が保証されるか？
• RQ5 特に三角形分割グラフにおいて、$ch_k(G) = k\chi(G)$が成り立つ条件は何か？

主な発見

• 任意の$\epsilon > 0$に対して、ある$k_0$が存在し、すべての$k \geq k_0$に対して$ch_k(G) \leq k(\chi(G) + \epsilon)$が成り立つ。これは$k$に関して漸近的に線形であることを示している。
• $(m:1)$-選択可能であるが$(l:1)$-選択可能でないようなグラフ$G$が存在し、$l > m \geq 3$を満たす。これは、Erdős, Rubin, Taylorの予想を反証する。
• 完全$r$部グラフ$K_{m_1,\dots,m_r}$に対して、$ch_k(G) \leq 948r\left(k + \log{\left(\frac{m_1 + \cdots + m_r}{r}\right)}\right)$が成り立つ。
• 任意のグラフ$G$に対して、$ch_k(G) \leq 948\chi(G)\left(k + \log{\left(\frac{|V|}{\chi(G)} + 1\right)}\right)$が成り立つ。
• ランダムグラフ$G_{n,p}$に対して、$n \to \infty$のとき高確率で$ch_k(G_{n,p}) \leq 475 \log{(1/(1-p))} \cdot n \cdot \frac{\log\log n}{\log n}$が成り立つ。
• グラフ$G$が奇数長の有向閉路を持たず、最大出次数が$d$である向きを持つならば、すべての$k \geq 1$に対して$G$は$(k(d+1):k)$-選択可能であり、色分けを多項式時間で構成できる。