[論文レビュー] Choking horns in Lipschitz Geometry of Complex Algebraic Varieties

Lev Birbrair, Alexandre Fernandes+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、複素代数的特異点のリプシッツ幾何における新しい双リプシッツ不変量として「くしゃみの角（choking horns）」を導入し、計量的錐構造の障害を提示する。ブリースコーン超曲面の族を分析することで、位相的に同値な孤立特異点から、無限に多くの双リプシッツ同値でない局所的内幾何が生じ得ることを証明し、1つの位相型内でのリプシッツ構造の多様性について長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We study the Lipschitz Geometry of Complex Algebraic Singularities. For this purpose we introduce the notion of choking horns. A Choking horn is a family of cycles on the family of the sections of an algebraic variety by very small spheres centered at a singular point, such that the cycles cannot be boundaries of nearby chains. The presence of choking horns is an obstruction to metric conicalness as we can see with some classical isolated hypersurfaces singularities which we prove are not metrically conic. We also show that there exist infinitely countably many singular varieties, which are locally homeomorphic, but not locally bi-Lipschitz equivalent with respect to the inner metric.

研究の動機と目的

• 複素代数的特異点の内幾何における計量的錐構造の障害を特定すること。
• 1つの孤立特異点の位相型が、双リプシッツ同値の下で無限に多くの異なる局所的内幾何を許容できるかどうかを調査すること。
• 新しい幾何的不変量を用いて、位相的には錐的だが計量的には錐的でない非錐的特異点の存在を確立すること。

提案手法

• 円周の上に積をとった球面への連続なサブアナリティック写像としての「くしゃみの角」の概念を導入し、一方の境界を特異点に写像し、特定のホモロジー的および計量的条件を満たすものとする。
• 特異点の周囲の小さな球面上に定義されるサイクルの族としてくしゃみの角を定義し、それらがホモロジーで非自明であるか、または直径が大きなチェーンを介してのみ自明になるものとする。
• くしゃみの角の非存在を用いて、特異点が計量的に錐的でないことを示す基準とし、新たな双リプシッツ不変量を確立する。
• Brieskorn超曲面特異点 $(A_{2k+1}^n)_{k\geq1}$ を分析し、複素特異点の実部としてくしゃみの角を実現する。
• 特異点の「太い部分」と「細い部分」の分解を用い、細い部分を例外的接線のホーン近傍とみなして、くしゃみの角を構成する。
• 計量ホモロジーおよび消滅ホモロジーの結果を活用し、特異点近傍における特定の計量的・ホモロジー的性質を示すサイクル族としてくしゃみの角を解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素代数的特異点の内幾何における計量的錐構造の障害となる幾何的対象を特定できるか？
• RQ2 固定された位相型の孤立特異点が、双リプシッツ同値の下で何通りの異なる局所的内幾何を許容できるか？
• RQ3 高次元において、位相的に同値だが双リプシッツ同値でない特異点が存在するか？もしあるならば、それらを区別する構造は何か？

主な発見

• くしゃみの角は、計量的錐構造を妨げる新しい双リプシッツ不変量であり、計量的に錐的である特異点はくしゃみの角を含まない。
• Brieskorn特異点の族 $(A_{2k+1}^n)_{k\geq1}$ にはくしゃみの角が存在し、それらが計量的に錐的でないことを証明する。
• 族 $(A_{2k+1}^n)_{k\geq1}$ の任意の2つの異なる要素は、内計量の下で局所的に双リプシッツ同値ではないが、位相的に同値である。
• くしゃみの角の存在は、局所的内幾何が計量錐と双リプシッツ同値でないことを示唆する。
• 特異点の「太い部分」と「細い部分」の分解により、細い部分（$z_{n+1}$-軸の $k/2$-ホーン近傍）がくしゃみの角構造を含むことが明らかになる。
• $n \geq 3$ の場合、球面的リンクを持つ孤立特異点が存在し、それらは特異点を任意に多くの部分に分解する分離集合を許容する。これにより、無限に多くの双リプシッツ同値でない幾何が存在することが裏付けられる。