[論文レビュー] Choosability of planar graphs of girth 5

Zdenĕk Dvořák, Ken‐ichi Kawarabayashi|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、girth 5 の平面的グラフのリスト彩色に関するThomassenの1995年結果を強化し、リストサイズが2の頂点に対する制約を緩和した。具体的には、5つの頂点からなるパスが特定の2リストパターンをとらない限り、そのようなグラフは3-choosableのまま保たれることを証明した。主な貢献は、2リスト頂点の密度を高めることが可能な新しいリスト彩色可能性の十分条件を提示したことである。これにより、事前に彩色された面をもつ3リスト彩色臨界グラフのより鋭い境界が得られた。

ABSTRACT

Thomassen proved that any plane graph of girth 5 is list-colorable from any list assignment such that all vertices have lists of size two or three and the vertices with list of size two are all incident with the outer face and form an independent set. We present a strengthening of this result, relaxing the constraint on the vertices with list of size two. This result is used to bound the size of the 3-list-coloring critical plane graphs with one precolored face.

研究の動機と目的

• girth 5 の平面的グラフの3-choosabilityに関するThomassenの結果を、リストサイズ2の頂点に対する制限を緩和することで強化すること。
• girth 5 で外側面が事前に彩色された3リスト彩色臨界平面的グラフの構造を同定すること。
• 事前に彩色された面の長さを用いて、そのような臨界グラフの頂点数の上界を導出すること。
• 禁止構成に基づく構造的分解と帰納法を用いた、臨界グラフの生成と解析の枠組みを構築すること。

提案手法

• 5つの頂点からなるパスのうち、位置1,2,4,5にリストサイズ2の頂点が存在しないという新しいリスト割り当て条件を導入。
• グラフのサイズに関する帰納法を用い、構造的分解によりより小さな部分グラフに還元する。
• 臨界グラフを、ある部分グラフの彩色が全体に拡張できないが、すべての真部分グラフでは拡張できるようなグラフとして定義・分析する。
• 面に重み関数 w(x) を導入し、総重みを束縛することで、頂点数に関する不等式を導出する。
• 帰納ステップにおける非自明な還元を、特にLemma 20の構成(g)および(h)について、サイクルや面構造を考慮して処理する。
• 重み関数を用いて、ℓ(F)（事前に彩色された面の長さ）を変数とする |V(G)| の線形上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 girth 5 の平面的グラフに対するThomassenのリスト彩色結果において、2リスト頂点に関する制約を緩和しても3-choosabilityが保たれるか？
• RQ2 girth 5 で外側面が事前に彩色された3リスト彩色臨界平面的グラフは、どのような構造的性質を有するか？
• RQ3 事前に彩色された面の長さを関数として、そのような臨界グラフが有り得る頂点数の最大値は何か？
• RQ4 禁止構成に基づく分解規則を用いて、臨界グラフの構造をアルゴリズム的に生成できるか？

主な発見

• 本論文は、girth が5以上である平面的グラフが、5つの頂点からなるパスのうち頂点1,2,4,5にリストサイズ2が存在しない限り、3-choosableであることを証明した。
• girth 5 の F-臨界グラフにおける頂点数の上界は、ℓ(F) を事前に彩色された面の長さとして、(37ℓ(F) - 320)/3 である。
• この上界は ℓ(F) に関して線形であり、このような臨界グラフのサイズが境界長さに比例して増大することを裏付けた。
• 証明により、このような臨界グラフの数は ℓ(F) に関して指数関数的以下であることが示され、木に基づく構成による下界と一致した。
• 重み関数法により、面の長さと構造的制約を用いて、辺数および頂点数に関する鋭い不等式を導出できた。
• この結果により、事前に彩色された面をもつ3リスト彩色臨界グラフのクラスは構造的に制約されており、小さな面長さではアルゴリズム的に生成可能であることが示された。