[論文レビュー] Chow groups and $L$-derivatives of automorphic motives for unitary groups

Chao Li, Yifeng Liu|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 38被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、unitary群のBeilinson–Bloch予想の重要なケースを証明し、$L$-関数の中心における非消滅導関数が、自動形式的モチーフの非自明なChow群を示すことを示した。数論的theta上昇と局所倍加ゼータ積分を用いて、Chow群に明示的な要素を構成し、その高さを計算することで、Gross–Zagier公式を高ランクモチーフへ一般化する数論的内積公式を確認した。

ABSTRACT

In this article, we study the Chow group of the motive associated to a tempered global $L$-packet $π$ of unitary groups of even rank with respect to a CM extension, whose global root number is $-1$. We show that, under some restrictions on the ramification of $π$, if the central derivative $L'(1/2,π)$ is nonvanishing, then the $π$-nearly isotypic localization of the Chow group of a certain unitary Shimura variety over its reflex field does not vanish. This proves part of the Beilinson--Bloch conjecture for Chow groups and $L$-functions, which generalizes the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. Moreover, assuming the modularity of Kudla's generating functions of special cycles, we explicitly construct elements in a certain $π$-nearly isotypic subspace of the Chow group by arithmetic theta lifting, and compute their heights in terms of the central derivative $L'(1/2,π)$ and local doubling zeta integrals. This confirms the conjectural arithmetic inner product formula proposed by one of us, which generalizes the Gross--Zagier formula to higher dimensional motives.

研究の動機と目的

• 偶数ランクunitary群の定められた$L$-パッケージに関連する自動形式的モチーフのChow群に関するBeilinson–Bloch予想の一部を証明すること。
• Chow群の特殊サイクルの高さと$L$-導関数を結ぶ数論的内積公式を通じて、Gross–Zagier公式の高次元一般化を確立すること。
• 数論的theta上昇を用いてChow群に明示的な要素を構成し、その高さを$L'$-導関数および局所ゼータ積分の観点から検証すること。

提案手法

• unitary Shimura多様体の反射体上の$\pi$-ほぼ同一型部分空間に属するChow群の要素を生成するために、数論的theta上昇を用いる。
• 局所倍加ゼータ積分と中心導関数$L'(1/2, \pi)$を用いて、これらの上昇されたサイクルのBeilinson–Bloch高さを計算する。
• 倍加法を用いて、解析的側（中心$L$-導関数）と幾何的側（特殊サイクルの高さペアリング）を関連付ける。
• 分解による局所寄与の合計としてグローバルな高さペアリングを計算するため、分岐・非分岐・実数的場所における局所インデックスを用いる。
• 特殊サイクルとその生成関数のKudlaプログラムを用いて、数論的交差数を$L$-導関数に関連付ける。
• Kudlaの生成関数のモジュラー性を用いて、数論的theta上昇が正しいChow群部分空間に写ることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L'(1/2, \pi) \neq 0$ ならば、unitary Shimura多様体の$\pi$-ほぼ同一型Chow群が非自明になるか？
• RQ2 数論的theta上昇のBeilinson–Bloch高さは、$L'(1/2, \pi)$と局所倍加ゼータ積分の積として表現可能か？
• RQ3 Gross–Zagier公式を一般化する数論的内積公式は、高ランクunitaryモチーフにおいて成立するか？
• RQ4 分岐・非分岐・実数的場所における局所インデックスは、特殊サイクルのグローバル高さペアリングにどのように寄与するか？
• RQ5 Kudlaの生成関数のモジュラー性は、Chow群要素の明示的構成にどの程度寄与するか？

主な発見

• $L'(1/2, \pi) \neq 0$ のとき、unitary Shimura多様体の$\pi$-ほぼ同一型Chow群の局所化は非自明であり、Beilinson–Bloch予想の1つのケースが確認された。
• 数論的theta上昇によりChow群に明示的な要素が構成され、そのBeilinson–Bloch高さは$L'(1/2, \pi)$と局所倍加ゼータ積分の積として計算された。
• 高さペアリングが、分岐・非分岐・実数的場所における局所寄与に分解され、それぞれが特定のゼータ積分によって計算されることを示した。
• unitary群の偶数ランクで、グローバルなルート数が$-1$である場合に、数論的内積公式が確認された。これはGross–Zagier公式の一般化である。
• 結果はKudlaの特殊サイクルの生成関数のモジュラー性に依存しており、これは最近の[LaZ]で確立された。
• $L$-導関数と幾何的高さを結ぶために、倍加法の新しい応用を用いて、theta上昇の枠組みを高ランクモチーフへ拡張した。