[論文レビュー] Chow-Kunneth decomposition for universal families over Picard modular surfaces

Andrea Miller, Stefan Müller–Stach+3 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、特定のピカードモジュラー多様体上での複素乗法を持つアーベル3重積の普遍族に対して、チャウ–キュンネンツ分解の存在を確立し、ゴードン、ハナクラ、ムーレの手法をヒルベルトモジュラー多様体を超えて拡張する。主な結果は、$L^2$-ヒッグスコhomologyの消滅とムムフォード–ファルティングス–チャイの意味における相対的完全モデルを用いて、これらの族に対するチャウ–キュンネンツ予想の部分的証明である。

ABSTRACT

We discuss the existence of an absolute Chow-Kuenneth decomposition for complete degenerations of families of Abelian threefolds with complex multiplication over a particular Picard Modular Surface studied by Holzapfel. In addition to the work of Gordon, Hanamura and Murre we use Relatively Complete Models in the sense of Mumford-Faltings-Chai of Picard Modular Surfaces in order to describe complete degenerations of families of abelian varieties. We furthermore prove vanishing results for cohomology groups of irreducible representations of certain arithmetic subgroups in SU(2,1) using the non--compact Simpson type correspondence between the $L^2$--Higgs cohomology of the underlying VHS and the $L^2$--de Rham cohomology resp. intersection cohomology of local systems.

研究の動機と目的

• ヒルベルトモジュラー多様体からピカードモジュラー多様体へ、チャウ–キュンネンツ分解の枠組みを拡張すること。ピカードモジュラー多様体は型$SU(2,1)$のヘルミート対称空間によって均質化される。
• 特に高レベル構造をもつピカードモジュラー多様体に対して、非コンパクトな算術的状況における標準的なモチーフ的分解アプローチの失敗を調査すること。
• $L^2$-コホモロジー的技法を用いて、コンパクト化された普遍族上での相対的チャウ–キュンネンツ射影子の存在を確立すること。
• 非コンパクトな算術的部分群$SU(2,1)$における$L^2$-ヒッグスコホモロジー群の消滅定理を証明し、モチーフ的分解を可能にする。
• ムムフォード–ファルティングス–チャイの相対的完全モデル理論を応用し、境界ストラトを制御し、コンパクト化全体にわたる射影子の整合性を保証すること。

提案手法

• ゴードン、ハナクラ、ムーレのモチーフ的分解戦略を、ピカードモジュラー多様体の状況に適応し、一般ファイバー上での相対的チャウ–キュンネンツ分解を用いる。
• 導来カテゴリにおける perverse sheaf の分解定理を用い、直接像 $Rar{f}_*Q_{ar{A}}$ を底面のストラト上の交差コホモロジー複体と関連付ける。
• 対象 $ar{X}$ と対数的除数 $D$ を持つコンパクト化された底面における $L^2$-ヒッグスコホモロジー理論に焦点を当て、ヒッグス bundle の対称冪の $L^2$-コホモロジーを扱う。
• Higgs bundle $E = ar{f}_* omega_{ar{A}/ar{X}}$ 上での冪零作用素 $N_1, N_2$ の作用を解析し、重みフィルトレーションと $L^2$-セクションを計算する。
• 特に $n=2$ の場合に、生成子と $z_1$-twisting を用いて $S^n(E, heta)_{(2)}$ の $L^2$-正則セクションを構成し、コホモロジー群を制御する。
• 非コンパクト設定におけるマツシマ–シムラの消滅定理を $L^2$-コホモロジー技法と組み合わせ、各射影子ごとに1つのコホモロジー群しか寄与しないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルトモジュラー多様体からピカードモジュラー多様体へのチャウ–キュンネンツ分解を拡張することは可能か？ピカードモジュラー多様体は上半平面の積ではなく2次元ボールによって均質化される。
• RQ2 ゴードン、ハナクラ、ムーレのモチーフ的分解予想は、ピカードモジュラー多様体上のコンパクト化された普遍族に対してどの程度成立するか？
• RQ3 特に $SU(2,1)$ の算術的部分群に対して、チャウ–キュンネンツ射影子の存在に対する障害は何か？非コンパクトな状況において。
• RQ4 $L^2$-ヒッグスコホモロジーを用いて、非コンパクトな算術群に対して消滅結果を証明する方法は何か？そして、その結果がどのようにモチーフ的分解を可能にするか？
• RQ5 ムムフォード–ファルティングス–チャイの相対的完全モデル理論を用いて、境界ストラトを制御し、コンパクト化全体にわたる射影子の整合性を保証することは可能か？

主な発見

• 本稿は、ピカードモジュラー多様体上での複素乗法を持つアーベル3重積の普遍族に対して、相対的チャウ–キュンネンツ分解の存在を証明する。
• 非コンパクトな算術的部分群 $SU(2,1)$ に対する $L^2$-ヒッグスコホモロジー群の消滅定理が確立され、モチーフ的分解に不可欠である。
• Higgs bundle $E$ 上での冪零作用素 $N_1, N_2$ の作用が明示的に計算され、それらの重みフィルトレーションが $L^2$-セクションの対称冪の分解に用いられる。
• 特に $S^2(E, heta)_{(2)}$ の $L^2$-正則セクションは、$v_1 arigotimes v$、$v_2 arigotimes v_2$、$v_2 arigotimes v$、$v arigotimes v$、および $z_1 S^2 E$ によって生成され、$W(N_1)$ における明示的な次数付き構造が与えられる。
• $L^2$-コホモロジーの消滅を仮定すると、コンパクト化された普遍族上でのモチーフ的分解予想が、ピカードモジュラー多様体上で検証される。
• 高レベル構造をもつピカードモジュラー多様体では、一般にはこの手法が失敗する。これは $L^2$-コホモロジーの非消滅を示しており、このような状況におけるチャウ–キュンネンツ予想の内在的障害を示唆する。