[論文レビュー] Chow quotients of Grassmannian I

Mikhail Kapranov|ArXiv.org|Oct 7, 1992

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、一般線型群 $GL(n)$ の最大トーラス $H \subset GL(n)$ による軌道閉包を用いて、$\mathbb{P}^{k-1}$ 内の $n$ 個の点の配置のモジュライ空間のコンパクト化として、チャウ商 $G(k,n)//H$ を導入する。$G(2,n)//H$ がデリーニュ＝ムーディのコンパクト化 $\overline{M_{0,n}}$ に同型であることが示され、Lie複体とヴェロネーゼ多様体の極限を通じて、安定な $n$ 点付き有理曲線の幾何的実現が得られる。

ABSTRACT

We introduce a certain compactification of the space of projective configurations i.e. orbits of the group $PGL(k)$ on the space of $n$ - tuples of points in $P^{k-1}$ in general position. This compactification differs considerably from Mumford's geometric invariant theory quotient. It is obtained by considering limit position (in the Chow variety) of the closures of generic orbits. The same result will be obtained if we study orbits of the maximal torus on the Grassmannian $G(k,n)$. We study in detail the closures of the torus orbits and their "visible contours" which are Veronese varieties in the Grassmannian. For points on $P^1$ our construction gives the Grothemdieck - Knudsen moduli space of stable $n$ -punctured curves of genus 0. The "Chow quotient" interpretation of this space permits us to represent it as a blow up of a projective space.

研究の動機と目的

• $GL(n)$ の最大トーラス $H$ による作用の軌道閉包の極限を用いて、$\mathbb{P}^{k-1}$ 内の $n$ 個の点の配置のモジュライ空間のコンパクト化を構成すること。
• グラスマンニアン $G(k,n)$ 内の一般的 $H$-軌道の閉包の極限の空間として、チャウ商 $G(k,n)//H$ を定義し、コンパクト化の概念を一般化すること。
• $G(2,n)//H$ が $\overline{M_{0,n}}$ に同型であることを確立し、一般化されたLie複体と安定な $n$ 点付き有理曲線との幾何的対応関係を示すこと。
• チャウ商とヴェロネーゼ多様体を用いたグラスマンニアンにおける表現により、ゲルファンド＝マクファーソン対応の新しい幾何的解釈を提供すること。
• グラスマンニアンの一般的部から全チャウ商への制限および射影写像 $\tilde{a}_i, \tilde{b}_i$ の拡張を構成し、帰納的構成を可能にすること。

提案手法

• チャウ多様体における $k-1$ 次元、次数 $n-1$ のサイクルの空間内での軌道閉包写像の像の閉包として、チャウ商 $G(k,n)//H$ を定義する。
• ゲルファンド＝マクファーソン対応を用いて、$\mathbb{P}^{k-1}$ 内の $n$ 個の点の配置を $GL(k)$-軌道 $(\mathbb{P}^{k-1})^n$ と関連づけ、チャウ多様体内での極限をとる。
• $\mathfrak{h}$ をトーラス $H$ のリー代数として、$G(k-1, \mathfrak{h})$ へのヴェロネーゼ写像の像の閉包として、チャウ商 $G(k,n)//H$ を特徴付ける。
• Lie複体 $Z$ の可視輪郭を、一般の点 $p = (1:\cdots:1)$ を含む $Z$ 内の部分空間の集合として定義する。この点は $G(k-1, \mathfrak{h})$ に属する。
• 可視スイープ $Sw(Z)$ を、可視輪郭に属するすべての部分空間の和集合として定義する。これは有理写像の像として明示的に計算可能である。
• 代数多様体としての $\overline{M_{0,n}}$ が、$\sigma_i: \overline{M_{0,n}} \to \mathbb{P}^{n-3}$ の有理写像と逆極限構成により、$M_{0,n}$ の閉包に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定な $n$ 点付き有理曲線のモジュライ空間 $\overline{M_{0,n}}$ は、$\mathbb{P}^{k-1}$ 内の $n$ 個の点の配置空間のコンパクト化としてどのように実現可能か？
• RQ2 $H$ がグラスマンニアン $G(k,n)$ に作用する際のチャウ商 $G(k,n)//H$ の幾何的構造は何か？
• RQ3 制限および射影写像 $\tilde{a}_i, \tilde{b}_i$ は、グラスマンニアンの一般的部から全チャウ商へどのように拡張可能か？
• RQ4 ヴェロネーゼ多様体とその可視輪郭は、チャウ商 $G(k,n)//H$ の実現において果たす役割は何か？
• RQ5 $\overline{M_{0,n}}$ は、チャウ商構成を用いて、プロジェクト型空間の反復吹き上げとして帰納的に構成可能か？

主な発見

• $G(2,n)//H$ がデリーニュ＝ムーディのコンパクト化 $\overline{M_{0,n}}$ に同型であることが示され、安定な $n$ 点付き有理曲線の幾何的実現が得られる。
• $\overline{M_{0,n}}$ は、空間 $\Pi^{n-3}_{ij}$ と $\mathbb{P}^{n-3}_i$ の逆極限における $M_{0,n}$ の開ストラトの閉包に同型であり、写像 $\psi$ は代数多様体としての同型である。
• $\overline{M_{0,n}} \to \Pi^{n-3}_{ij} \times \overline{M_{0,n-1}}$ となる写像 $f_{ij} \times \pi_i$ は代数多様体の埋め込みであり、$\overline{M_{0,n}}$ の構造が安定曲線とその点への制限のデータによって決定されることを示している。
• 安定な $n$ 点付き曲線 $C$ の同型類は、$\pi_i(C)$ の同型類と、$C$ の双対グラフにおける路 $[ij]$ 上のマーク付き点の配置から回復可能である。
• $\overline{M_{0,n}}$ は、$\overline{M_{0,n-1}}$ と $\mathrm{Bl}_{p_j}\Pi^{n-3}_{ij}$ を $\mathbb{P}^{n-4}_{ij}$ 上でとったファイバー積に同型であり、$\overline{M_{0,n}}$ が反復吹き上げとして帰納的に構成可能であることを示している。
• グラスマンニアン内でのヴェロネーゼ多様体のホモロジー類は、$GL(n-k)$ の表現の次元に対応し、代数幾何学と表現論を結ぶ。