[論文レビュー] Chowla and Sarnak Conjectures for Kloosterman Sums

E. H. El Abdalaoui, Igor E. Shparlinski+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2022

Analytic Number Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、Kloosterman和に対するChowlaおよびSarnak予想の類似を定式化し、それらを証明する。水平的および垂直的両側面において、未条件のパワー・セービング・バウンドを確立する。トレース公式、乗法的関数、Weyl差分を用いて、既知の Möbius 関数の場合よりも強い結果が得られ、水平和に関しては O(M^{1/2 + γ + o(1)}) のバウンドが得られ、多項式位相付きの垂直和に関しては O(N^{1 - 2^{-d}} p^{2^{-d} - 1} (log p)^{2^{-d} - 1}) が得られる。

ABSTRACT

We formulate several analogues of the Chowla and Sarnak conjectures, which are widely known in the setting of the Möbius function, in the setting of Kloosterman sums. We then show that for Kloosterman sums, in some cases, these conjectures can be established unconditionally.

研究の動機と目的

• Möbius関数に対して元々定式化されたChowlaおよびSarnak予想を、Kloosterman和の設定へと拡張すること。
• Kloosterman和のランダム性を、モジュラス m で和をとる水平的側面（m を変化）および引数 n で和をとる垂直的側面（n を変化）の両方において調査すること。
• 算術関数や低複雑性の列による重み付けが施されたKloosterman和の和に対して、未条件のパワー・セービング・バウンドを確立すること。
• Kloosterman和において、Möbius関数の場合よりも強い誤差項を得られるような、特定の予想が未条件で証明可能であることを示すこと。
• Kloosterman和の文脈において、乗法的数論、指数和、スペクトル論の間の相互作用を調査すること。

提案手法

• 正規化されたKloosterman和 Km(a) = (1/√m) Σ_{x∈Z_m^*} e_m(ax + x) に対して、ChowlaおよびSarnak予想の類似を定式化する。
• Kuznetsovのトレース公式とスペクトル論を用いて、有界な列 ξ(m) に対して水平和 Σ_{m≤M} ξ(m)Km(a) をバウンドする。
• μ(d)、ϕ(m)、κ_k(m) などの乗法的関数を用いて、和を算術的平均に変換し、キャンセルを活用する。
• Weyl差分と次数 d に関する帰納法を用いて、多項式位相付きの垂直和 Σ_{n≤N} ξ(n)Km(n + h_j) をバウンドする。
• H"olderの不等式と退化した配置に関する組合せ的バウンドを用いて、タプル上の指数和を制御する。
• Weilのバウンド |Km(a)| ≤ 2ω(m) と正規化 K∗_m(a) = |Km(a)| / 2ω(m) ≤ 2^{3/2} を用いて、サイズを制御し、平均化技術を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kloosterman和は乗法的でなく、値が密に分布しているため、ChowlaおよびSarnak予想をKloosterman和へと意味的に拡張できるか？
• RQ2 算術的重み付きで、モジュラス m を変化させる水平的側面におけるKloosterman和の和に対して、どのようなパワー・セービング・バウンドが確立できるか？
• RQ3 固定された m に対して、低複雑性の列における垂直和 Σ_{n≤N} Km(n + h_j) の最適なキャンセル性は何か？
• RQ4 類似の設定において、Möbius関数の場合よりもKloosterman和に対してより強いバウンドを得られるか？
• RQ5 多項式位相の次数が、Kloosterman和の垂直的和におけるキャンセルにどのように影響するか？

主な発見

• 水平和 Σ_{m≤M} Km(a)κ_k(m) は O(M^{1/2 + γ + o(1)} + M^{1/2 + 1/(2k) + o(1)}) でバウンドされ、k ≥ 1 のときパワー・セービングが確立される。
• Eulerのトーティエント関数に対しては、Σ_{m≤M} Km(a)ϕ(m) ≪ M^{3/2 + γ + o(1)} が得られ、γ < 1/2 のとき、自明なバウンドを改善する。
• 多項式位相の次数 d に対して、正規性条件の下で、垂直和 Σ_{n≤N} ∏_{j=1}^s Km(n + h_j) e(g(n)) ≪ N^{1 - 2^{-d}} p^{2^{-d} - 1} (log p)^{2^{-d} - 1} が成立する。
• 有界な列 ξ_n = f(T^n x) に対して、T が測度保存変換であるとき、和 Σ_{n≤N} Km(n)ξ_n は任意の ε > 0 に対して O_ε(N) である。ここで H = o(N) かつ p が十分に大きい。
• s 重の H"older の不等式を用いた和のバウンドは W ≪ t^{1/2s} (s/H)^{1/2} N となり、最適化により H と s を選択することで O(N) にまで改善される。
• 結果は未条件であり、特に多項式位相付きの垂直的側面において、既知の Möbius 関数のバウンドを上回る。