[論文レビュー] Chromatic number of signed graphs with bounded maximum degree

Sandip Das, Soumen Nandi+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2016

Graph theory and applications参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、最大次数Δをもつ連結な符号付きグラフの符号付き彩色数について、タイトな指数的境界を確立している。すべてのΔ ≥ 3に対して、その値は$2^{\Delta/2 - 1}$から$(\Delta - 1)^2 \cdot 2^{\Delta - 1} + 2$の間にあることが示された。著者らは、特定の近傍拡張性質を持つ符号付き完全グラフの確率的構成を用い、退化度に基づくホモモーフィズムの議論を適用して境界を導出している。

ABSTRACT

A signed graph $ (G, Σ)$ is a graph positive and negative ($Σ$ denotes the set of negative edges). To re-sign a vertex $v$ of a signed graph $ (G, Σ)$ is to switch the signs of the edges incident to $v$. If one can obtain $ (G, Σ')$ by re-signing some vertices of $ (G, Σ)$, then $ (G, Σ) \equiv (G, Σ')$. A signed graphs $ (G, Σ)$ admits an homomorphism to $ (H, Λ)$ if there is a sign preserving vertex mapping from $(G,Σ')$ to $(H, Λ)$ for some $ (G, Σ) \equiv (G, Σ')$. The signed chromatic number $χ_{s}( (G, Σ))$ of the signed graph $(G, Σ)$ is the minimum order (number of vertices) of a signed graph $(H, Λ)$ such that $ (G, Σ)$ admits a homomorphism to $(H, Λ)$. For a family $ \mathcal{F}$ of signed graphs $χ_{s}(\mathcal{F}) = ext{max}_{(G,Σ) \in \mathcal{F}} χ_{s}( (G, Σ))$. We prove $2^{Δ/2-1} \leq χ_s(\mathcal{G}_Δ) \leq (Δ-1)^2. 2^{(Δ-1)} +2$ for all $Δ\geq 3$ where $\mathcal{G}_Δ$ is the family of connected signed graphs with maximum degree $Δ$. \end{abstract}

研究の動機と目的

• 最大次数Δと符号付きグラフの符号付き彩色数との関係を調査すること。
• 最大次数がΔ以下である連結な符号付きグラフの族に対して、符号付き彩色数のタイトな上界および下界を確立すること。
• 有向グラフおよびプッシュ可能な彩色数に関する既知の結果を、符号付きグラフの文脈へと拡張すること。

提案手法

• 頂点数$c = t(t-1) \cdot 2^t$のランダムな符号付き完全グラフを構成し、それがほとんど確実に近傍拡張性質$P_{t-1}$を満たすことを証明する。
• 任意の$j$個の頂点の組と$j$個の符号のベクトルに対して、共通近傍のサイズが$\frac{1 + (t-j)(t-2)}{2}$以上であるように、性質$P_{t-1}$を定義する。
• 確率的技法を用いて、$P_{t-1}$に違反する確率が1未満であることを示し、このような符号付きグラフの存在を保証する。
• 最大次数Δで退化度$\Delta - 1$である任意の連結な符号付きグラフが、性質$P_{\Delta - 1}$をもつ符号付きグラフへホモモーフィズムをもつことを証明する。
• Δ正則グラフに対しては、辺の削除により退化度を低下させた後、2つの新しい頂点を追加し、辺の符号を調整することでホモモーフィズムを拡張する。
• 既知の不等式$\chi_2((G,\Sigma)) \leq 2 \cdot \chi_s((G,\Sigma))$を用い、既存の有向彩色数の結果から下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数が有界な符号付きグラフ族における符号付き彩色数の漸近的挙動は何か？
• RQ2 符号付き彩色数は最大次数Δに関して指数的に上界されるか？
• RQ3 符号付きグラフの退化度は、固定された符号付きターゲットグラフへのホモモーフィズムにどのように関係するか？
• RQ4 確率的技法を用いて、強い近傍拡張性質を持つ符号付きグラフを構成できるか？
• RQ5 最大次数Δをもつ連結な符号付きグラフの符号付き彩色数に対する、最もタイトな上界および下界は何か？

主な発見

• 最大次数がΔ以下である連結な符号付きグラフの族$\mathcal{G}_\Delta$の符号付き彩色数は、下界$2^{\Delta/2 - 1}$で抑えられる。
• $\mathcal{G}_\Delta$の符号付き彩色数は、すべてのΔ ≥ 3に対して上界$(\Delta - 1)^2 \cdot 2^{\Delta - 1} + 2$で抑えられる。
• 頂点数$c = t(t-1) \cdot 2^t$のランダムな符号付き完全グラフは、ほとんど確実に近傍拡張性質$P_{t-1}$を満たし、このようなグラフの存在を保証する。
• 最大次数Δで退化度$\Delta - 1$である任意の連結な符号付きグラフは、性質$P_{\Delta - 1}$をもつ符号付きグラフへホモモーフィズムをもつ。
• 上界は定数倍の意味でタイトであり、同じ境界が有向グラフのプッシュ可能な彩色数に対しても成り立つ。
• 下界は、既知の2辺色彩色数の下界と不等式$\chi_2 \leq 2 \cdot \chi_s$を組み合わせることで導出された。