[論文レビュー] Chromatic numbers and a Lovász type inequality for non-commutative graphs

Se-Jin Kim, Arthur Mehta|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2017

Graph theory and applications参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非可換グラフ（部分行列型作用素系またはトレースゼロの自己随伴作用素空間として定義される）における彩色数の2つの新しい一般化を導入し、Lovászのサンドイッチ定理の非可換版を確立する。具体的には、非可換グラフの直交補空間の彩色数がそのシータ数によって下から抑えられることを証明する。さらに、カテゴリカルおよびカルテシアン積を用いて、作用素空間の枠組みにおいてSabidussiの定理とHedetniemiの予想を非可換設定に一般化する。

ABSTRACT

Non-commutative graph theory is an operator space generalization of graph theory. Well known graph parameters such as the independence number and Lovász theta function were first generalized to this setting by Duan, Severini, and Winter. We introduce two new generalizations of the chromatic number to non-commutative graphs and provide a generalization of the Lovász sandwich inequality. In particular, we show the chromatic number of the orthogonal complement of a non-commutative graph is bounded below by its theta number. We also provide a generalization of both Sabadussi's Theorem and Hedetniemi's conjecture to non-commutative graphs.

研究の動機と目的

• 古典的グラフパラメータ（特に彩色数とLovászのシータ関数）を作用素空間理論を用いて非可換設定へと拡張すること。
• Hilbert-Schmidt内積における直交補空間を用いて、非可換グラフに対する意味のある補グラフの定義を導入すること。
• 非可換グラフのLovászサンドイッチ定理の非可換版を確立し、直交補空間の彩色数がシータ数によって下から抑えられることを示すこと。
• トレースゼロの自己随伴作用素空間におけるカルテシアン積とカテゴリカル積の彩色数に関するSabidussiの定理とHedetniemiの予想を一般化すること。
• Stahlkeが提起した問いに答え、恒等式 $\chi(G)\omega(\overline{G}) \geq n$ を非可換グラフに一般化すること。

提案手法

• 部分行列型作用素系（単位元を含み、随伴について閉じている）および部分行列型トレースゼロの自己随伴作用素空間（随伴について閉じており、トレースがゼロ）として非可換グラフを定義する。
• 正規直交基底の直交分解および完全有界写像に基づく2つの新しい彩色数一般化 $\chi_0$ と $\chi_{0,cb}$ を導入する。
• Hilbert-Schmidt内積を用いて、非可換グラフ $\mathcal{J}$ の直交補空間 $\mathcal{J}^\perp$ を定義し、グラフの補グラフの一般化を可能にする。
• トレースゼロの自己随伴作用素空間に対して、カルテシアン積 $\mathcal{J} \Box \mathcal{K}$ とカテゴリカル積 $\mathcal{J} \otimes \mathcal{K}$ を構成する。
• 完全正値かつトレースを保存する写像を用いて、非可換グラフ間のグラフ準同型を定義し、古典的グラフの性質の移行を可能にする。
• 作用素空間理論の定理（完全有界性や部分トレース写像など）を活用し、彩色数とシータ関数に関する不等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分行列型作用素系およびトレースゼロの自己随伴作用素空間として定義される非可換グラフに対して、彩色数を意味的に一般化することは可能か？
• RQ2 非可換グラフのLovászサンドイッチ定理の類似が成り立つのか、すなわち $\theta(\mathcal{J}) \leq \chi_{0,cb}(\mathcal{J}^\perp)$ が成立するか？
• RQ3 カルテシアン積の彩色数に関するSabidussiの定理は、非可換グラフへと拡張可能か？
• RQ4 カテゴリカル積の彩色数に関するHedetniemiの予想は、非可換グラフへと一般化可能か？
• RQ5 恒等式 $\chi(G)\omega(\overline{G}) \geq n$ は、一般化された彩色数およびクリークパラメータを用いて非可換グラフへと拡張可能か？

主な発見

• 本稿は非可換Lovászサンドイッチ不等式を確立する：$\theta(\mathcal{J}) \leq \chi_{0,cb}(\mathcal{J}^\perp)$ であり、直交補空間の彩色数がシータ数によって下から抑えられることを示した。
• Sabidussiの定理の一般化を証明した：適切な正規直交基底 $v,w$ に対して $\chi_{0,cb}((\mathcal{J} \Box \mathcal{K})_{v,w}) = \max\{\chi_{0,cb}(\mathcal{J}), \chi_{0,cb}(\mathcal{K})\}$ が成り立つ。
• カテゴリカル積の彩色数は $\chi_{0,cb}(\mathcal{J} \otimes \mathcal{K}) \leq \min\{\chi_{0,cb}(\mathcal{J}), \chi_{0,cb}(\mathcal{K})\}$ を満たし、Hedetniemiの不等式を一般化した。
• Stahlkeの未解決問題に答え、$\chi(G)\omega(\overline{G}) \geq n$ を非可換グラフに一般化した。具体的には $\chi_{0,cb}(\mathcal{J}) \cdot \omega_{0,cb}(\mathcal{J}^\perp) \geq n$ を示した。
• $\chi_0$ とその完全有界バージョン $\chi_{0,cb}$ が、それぞれシータ関数およびその双対によって下からおよび上から抑えられることを示した。
• 特定の直交性条件を満たす正規直交基底の存在が、積における彩色数の境界を保つ色分けの構成を可能にする。