[論文レビュー] Chromatic quasisymmetric functions of directed graphs

Brittney Ellzey|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、ラベル付きグラフから有向グラフへと彩色クasi-対称関数を拡張し、すべての有向グラフに対してF基底およびp基底展開を導入するとともに、適切な円弧有向グラフの彩色クasi-対称関数が対称的であることを証明する。主な結果として、有向サイクルのe基底展開の生成関数が得られ、これがe正定、回文的、e単峰的であることを示し、リチャード・スターンの無向サイクルに関する結果を精緻化する。

ABSTRACT

Chromatic quasisymmetric functions of labeled graphs were defined by Shareshian and Wachs as a refinement of Stanley's chromatic symmetric functions. In this extended abstract, we consider an extension of their definition from labeled graphs to directed graphs, suggested by Richard Stanley. We obtain an F-basis expansion of the chromatic quasisymmetric functions of all digraphs and a p-basis expansion for all symmetric chromatic quasisymmetric functions of digraphs, extending work of Shareshian-Wachs and Athanasiadis. We show that the chromatic quasisymmetric functions of proper circular arc digraphs are symmetric functions, which generalizes a result of Shareshian and Wachs on natural unit interval graphs. The directed cycle on n vertices is contained in the class of proper circular arc digraphs, and we give a generating function for the e-basis expansion of the chromatic quasisymmetric function of the directed cycle, refining a result of Stanley for the undirected cycle. We present a generalization of the Shareshian-Wachs refinement of the Stanley-Stembridge e-positivity conjecture.

研究の動機と目的

• リチャード・スターンが示唆したように、彩色クasi-対称関数の定義をラベル付きグラフから有向グラフへ拡張すること。
• すべての有向グラフの彩色クasi-対称関数に対してF基底およびp基底展開を確立すること。
• 適切な円弧有向グラフの彩色クasi-対称関数が対称的であることを証明し、シャレシアンとワックスによる自然単位区間グラフに関する既知の結果を一般化すること。
• 有向サイクルの彩色クasi-対称関数のe基底展開の生成関数を導出することにより、スターンの無向サイクルに関する結果を精緻化すること。
• シャレシアン＝ワックスによるスターン＝ステムブリッジe正定性予想の一般化を、有向グラフの文脈において非巡回向き付きと昇順統計を用いて行うこと。

提案手法

• 適切な彩色における上昇数を用いて、有向グラフに対する彩色多項式のクasi-対称な拡張を導入する。
• マンタシとラコントンドラジャオの手法を応用し、生成関数を導出するための転送行列法と置換統計を適用する。
• 有向グラフの非巡回向き付きを用いて、e基底展開の係数を解釈し、tの指数として辺の一致度数を用いる。
• 有向サイクルの彩色クasi-対称関数の生成関数を確立する: $\sum_{n\geq 2}X_{\overrightarrow{C_{n}}}({\bf x},t)z^{n}=\frac{t\sum_{k\geq 2}k[k-1]_{t}e_{k}z^{k}}{1-t\sum_{k\geq 2}[k-1]_{t}e_{k}z^{k}}$。
• パスおよびサイクル有向グラフに対して、終点間の頂点数が分割$\lambda$の部品と一致する非巡回向き付きの集合$AO_\lambda(G)$を定義し、元の有向グラフの向き付きと一致する度合いで上昇数を数える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 彩色クasi-対称関数をラベル付きグラフから有向グラフへ意味的に拡張することは可能か？また、それらはどのような性質を保っているか？
• RQ2 適切な円弧有向グラフの彩色クasi-対称関数は対称的か？これは自然単位区間グラフに関する既知の結果を一般化するか？
• RQ3 有向サイクルの彩色クasi-対称関数のe基底展開は何か？また、e正定性、単峰性、または回文的性質を示すか？
• RQ4 シャレシアン＝ワックスによるe正定性予想を、非巡回向き付きと上昇統計を用いて有向グラフの文脈に一般化できるか？
• RQ5 有向サイクルの彩色クasi-対称関数のe基底係数を捉える生成関数は存在するか？

主な発見

• 任意の適切な円弧有向グラフの彩色クasi-対称関数は対称関数であり、シャレシアンとワックスによる自然単位区間グラフに関する結果を一般化する。
• 有向サイクル$\overrightarrow{C_n}$の彩色クasi-対称関数はe正定、回文的、e単峰的である。これは定理12における生成関数によって示される。
• 閉形式の生成関数$\sum_{n\geq 2}X_{\overrightarrow{C_{n}}}({\bf x},t)z^{n}=\frac{t\sum_{k\geq 2}k[k-1]_{t}e_{k}z^{k}}{1-t\sum_{k\geq 2}[k-1]_{t}e_{k}z^{k}}$が導出された。ここで$[k]_t = 1 + t + \cdots + t^{k-1}$である。
• 有向グラフ$\overrightarrow{C_n}$のe基底展開における係数$c_\lambda(t)$は、$\sum_{\bar{a} \in AO_\lambda(C_n)} t^{\operatorname{asc}_{\overrightarrow{C_n}}(\bar{a})}$として与えられる。ここで$\bar{a}$は、終点間の頂点数が指定された非巡回向き付きを走査する。
• 有向パス$\overrightarrow{P_n}$に対しても、e基底係数$c_\lambda(t)$は、連続する終点間の頂点数が$\lambda_i - 1$である非巡回向き付きの和として同様に表現される。
• これらの結果は、非巡回向き付きと辺の一致度数を用いたe基底係数の組合せ的解釈を提供し、より広いクラスの有向グラフにおけるe正定性の証明に向けた可能性のある手法を示唆する。