[論文レビュー] Chromatic Vertex Folkman Numbers

Xiaodong Xu, Meilian Liang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、彩色数が理論的最小値 $r(s-1)+1$ に達する $K_{s+1}$-自由グラフが、各色において単色の $K_{s}$ を保証するような最小順序を持つ彩色頂点フォルクマン数を定義する。著者らは、このようなグラフの構成的存在を示し、$F_v(s,s;s+1)$ に対して彩色数が正確に $2s-1$ であると予想しており、これは対角的場合における構成の最適性を示唆する。

ABSTRACT

For graph $G$ and integers $a_1 \ge \cdots \ge a_r \ge 2$, we write $G ightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$ if and only if for every $r$-coloring of the vertex set $V(G)$ there exists a monochromatic $K_{a_i}$ in $G$ for some color $i \in \{1, \cdots, r\}$. The vertex Folkman number $F_v(a_1 ,\cdots ,a_r; s)$ is defined as the smallest integer $n$ for which there exists a $K_s$-free graph $G$ of order $n$ such that $G ightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$. It is well known that if $G ightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$ then $χ(G) \geq m$, where $m = 1+ \sum_{i=1}^r (a_i - 1)$. In this paper we study such Folkman graphs $G$ with chromatic number $χ(G)=m$, which leads to a new concept of chromatic Folkman numbers. We prove constructively some existential results, among others that for all $r,s \ge 2$ there exist $K_{s+1}$-free graphs $G$ such that $G ightarrow (s,\cdots_r,s)^v$ and $G$ has the smallest possible chromatic number $r(s-1)+1$ for this $r$-color arrowing to hold. We also conjecture that, in some cases, our construction is the best possible, in particular that for every $s \ge 2$ there exists a $K_{s+1}$-free graph $G$ on $F_v(s,s; s+1)$ vertices with $χ(G)=2s-1$ such that $G ightarrow (s,s)^v$.

研究の動機と目的

• 彩色頂点フォルクマン数 $F_v^\chi(a_1,\dots,a_r;s)$ を定義・研究すること。これは、彩色数が理論的最小値 $m = 1 + \sum (a_i - 1)$ に等しく、かつフォルクマン矢印条件を満たす $K_s$-自由グラフの最小順序である。
• すべての $r,s \geq 2$ に対して $F_v^\chi(r,s;s+1)$ の構成的存在を確立し、このようなグラフが彩色数 $r(s-1)+1$ を持つことを示すこと。
• 対角的ケース $F_v(s,s;s+1)$ に対して、彩色数が正確に $2s-1$ であると予想し、これによりこの場合における最小彩色フォルクマン数が標準フォルクマン数に等しいことを示唆すること。
• 最小次数に関する考察を展開し、頂点最小の $K_{s+1}$-自由グラフが $(s,s)^v$ を矢印で示す場合、最小次数が $2s-2$ 以上であることを証明し、等号が成立する例を構成すること。
• 最小次数 $2s-2$ の正則な $K_{s+1}$-自由グラフが、頂点フォルクマン条件を満たすようなものが存在するかという未解決問題を提示し、これにより $F_v^\chi(s,s;s+1)$ の代替構成が得られる可能性を示唆すること。

提案手法

• 彩色頂点フォルクマン数 $F_v^\chi(a_1,\dots,a_r;s)$ を、$K_s$-自由グラフ $G$ で $G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v$ かつ $\chi(G) = 1 + \sum_{i=1}^r (a_i - 1)$ を満たすような最小順序として定義する。
• 頂点拡張および辺追加の技法を用いて、彩色数 $r(s-1)+1$ を持つ $K_{s+1}$-自由グラフの族を構成し、$G \rightarrow (s,\dots,s)^v$（$r$ 回）を満たすことを示す。
• 頂点最小性および辺最小性の仮定を用いて、特に臨界頂点の近傍に関する構造的制約を導出し、最小次数の下界を証明する。
• 二つの互いに素な $K_{s-1}$ を含む近傍の $2s-2$ 要素部分集合に接続する新しい頂点を追加する構成を適用し、任意の 2 色割り当てにおいて単色の $K_s$ が出現することを保証する。
• 任意の最小グラフ $G$ で $G \rightarrow (s,s)^v$ かつすべての $u$ に対して $G-u \not\rightarrow (s,s)^v$ を満たす場合、最小次数 $\delta(G) \geq 2s-2$ であることを証明し、等号を達成する例を構成する。
• ネシェトィル＝ローデルの構成を基盤として、エッジ彩色の類似物および一般化フォルクマン数への拡張を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $s$ に対して、$\chi(G) = 2s-1$ である $K_{s+1}$-自由グラフ $G$ で $G \rightarrow (s,s)^v$ を満たすものが存在するか？ また、$F_v^\chi(s,s;s+1) = F_v(s,s;s+1)$ が成り立つか？
• RQ2 $F_v^\chi(r,s;s+1)$ はすべての $r,s \geq 2$ に対して明示的に構成可能であり、彩色数 $r(s-1)+1$ を達成するか？
• RQ3 $2s-2$-正則な $K_{s+1}$-自由グラフが、ある $n$ 項で $G \rightarrow (s,s)^v$ を満たすものが存在するか？ これにより $F_v^\chi(s,s;s+1)$ にどのような影響を与えるか？
• RQ4 頂点最小の $K_{s+1}$-自由グラフで $G \rightarrow (s,s)^v$ を満たすものの最小次数は何か？
• RQ5 彩色フォルクマン数の概念を、クリーク $K_{a_i}$ の代わりに任意のグラフ $G_i$ を避ける形に一般化できるか？

主な発見

• 本稿では、すべての $r,s \geq 2$ に対して、$G \rightarrow (s,\dots,s)^v$（$r$ 回）かつ $\chi(G) = r(s-1)+1$ を満たす $K_{s+1}$-自由グラフ $G$ を構成し、$F_v^\chi(r,s;s+1)$ の存在を証明した。
• 任意の $K_{s+1}$-自由グラフ $G$ で $G \rightarrow (s,s)^v$ かつすべての $u$ に対して $G-u \not\rightarrow (s,s)^v$ を満たす場合、最小次数が $2s-2$ 以上であることが示された。
• 最小次数 $\delta(G) = 2s-2$ である $K_{s+1}$-自由グラフ $G$ の構成が提供され、$G \rightarrow (s,s)^v$ かつすべての $u$ に対して $G-u \not\rightarrow (s,s)^v$ を満たすことが確認され、下界のタイトさが裏付けられた。
• 著者らは、$F_v^\chi(s,s;s+1) = F_v(s,s;s+1)$ であると予想しており、これは対角的場合における最小彩色フォルクマン数が標準頂点フォルクマン数に等しいことを示唆する。
• この構成から、$2s-2$-正則な $K_{s+1}$-自由グラフがフォルクマン条件を満たすならば、そのような最小グラフの彩色数は正確に $2s-1$ でなければならないことが導かれる。
• 本稿では、任意のグラフ $G$ で $G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v$ を満たす場合、彩色数が $m = 1 + \sum (a_i - 1)$ 以上であることが確立され、$F_v^\chi$ を用いてこの下界を最小化する概念が導入された。