[論文レビュー] Chromogeometry and relativistic conics

N. J. Wildberger|ArXiv.org|Jun 17, 2008

Mathematics and Applications参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、距離と角度の代わりに四重量（quadrance）とスプレッド（spread）を用いて、ユークリッド的（青）、相対論的（赤）、緑の幾何学を統合する三重対称的枠組み、すなわちクロモジオメトリを導入する。楕円、双曲線、放物線といった円錐曲線を、赤と緑の焦点、準線、および軌跡の定義を用いて再定義し、焦点の三重直角三角形や、幾何学ごとに複数の焦点・準線ペアが存在するといった、新たな幾何的性質を明らかにする。主な結果として、双曲線が緑のグラモラ（grammola）であることが特定され、色分けされた焦点と準線を持つ放物線が同定された。

ABSTRACT

This paper shows how a recent reformulation of the basics of classical geometry and trigonometry reveals a three-fold symmetry between Euclidean and non-Euclidean (relativistic) planar geometries. We apply this chromogeometry to look at conics in a new light.

研究の動機と目的

• 四重量とスプレッドに基づく青、赤、緑の三重対称的枠組みを用いて、ユークリッド的および相対論的平面幾何学を統合すること。
• 特殊相対性理論の代数的不変量である距離と角度の代わりに、代替的メトリック構造を用いて円錐曲線を再定式化すること。
• 楕円、双曲線、放物線といった円錐曲線が、幾何学的枠組み（青、赤、または緑）に応じて複数の焦点と準線を有することを示すこと。
• 同じ円錐曲線が、ある幾何学では赤または緑の四重量の和が一定である「グラモラ」（locus of constant sum of red or green quadrances）であり、別の幾何学では差が一定である「クアドララ」（locus of constant difference）であることを確立し、より深い幾何的双対性を明らかにすること。
• 放物線が各幾何学で別個の焦点と準線を持つこと、三つの焦点が直角三角形を形成すること、ならびに新たな反射性・共線性性質を可能にすることを示すこと。

提案手法

• 従来の距離と角度の代わりに、四重量（長さの二乗）とスプレッド（角度の正弦の二乗）を用い、ベクトルとその垂直ベクトルの行列式によって定義する。三つの異なる幾何学においてそれぞれ適用する。
• 三つの幾何学を定義する：青（標準的ユークリッド）、赤（相対論的で $Q^{(r)} = a^2 - b^2$）、緑（相対論的で $Q^{(g)} = 2ab$）、それぞれが独自の直交性および四重量の定義を持つ。
• 三重四重量の公式とアルキメデスの関数を用いて、平方根を一切使用せず、四重量と対称多項式のみで面積を有理数的に計算する。
• 軌跡の定義を用いる：円錐曲線は、二つの焦点への赤または緑の四重量の和が一定である点の集合、または焦点への四重量と準線への四重量が等しい点の集合として定義される。
• 接線、極点、極線などの幾何的作図法を用いて、特に赤と緑の枠組みにおいて、焦点と準線を特定する。null 方向と反射を用いる。
• 代数的幾何学を用いて、各幾何学における円錐曲線の方程式を導出する。例えば赤のクアドララ $7x^2 + 6xy - 17y^2 = 128$ や、無理数係数を含む緑のグラモラの例が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四重量とスプレッドを用いて、距離と角度の代わりに三つの異なる幾何学的枠組み（青、赤、緑）に基づく円錐曲線をどのように再定義できるか？
• RQ2 複数のクロモジオメトリック枠組みで解釈された場合の円錐曲線の幾何的・代数的性質は何か。例えば、双曲線が赤のクアドララであり、同時に緑のグラモラである場合。
• RQ3 円錐曲線の焦点と準線は三つの幾何学においてどのように変化するか。どのような対称性や双対性が現れるか？
• RQ4 放物線の反射性質を三つの幾何学すべてに一般化できるか。新たな共線性や直交配置が得られるか？
• RQ5 クロモジオメトリにおいて、放物線の三つの焦点が形成する三重直角三角形の意義は何か？

主な発見

• 方程式 $7x^2 + 6xy - 17y^2 = 128$ で定義される双曲線は、赤のクアドララとして、赤の焦点が $[3,1]$ と $[-3,-1]$ にあり、同時に、$√{238}$ を含む複雑な有理数式を持つ緑のグラモラである。
• 図13の放物線には三つの異なる焦点と準線がある：$F_b$ は $l_r$ と $l_g$ の交点、$F_r$ は $l_b$ と $l_g$ の交点、$F_g$ は $l_b$ と $l_r$ の交点であり、これらは三重直角三角形を形成する。
• 放物線の準線は、それぞれの幾何学において互いに直交する：$l_r$ と $l_g$ は青の直交、$l_b$ と $l_g$ は赤の直交、$l_b$ と $l_r$ は緑の直交である。
• 反射性質は三つの幾何学すべてで成立する：軸に沿った粒子が接線に反射すると、対応する焦点を通る。使用するメトリックにかかわらず同様である。
• 同じ黒の焦点と準線を持つ三つの放物線は、元の焦点と準線への垂線の足によって形成される焦点三角形を持つ。点線は赤と緑の放物線の交点を結ぶ。
• 四重量 $Q_1=13$, $Q_2=25$, $Q_3=26$ を持つ三角形の面積は $17/2$ であり、アルキメデスの関数を用いて $16 \cdot \text{area}^2 = 1156$ として計算され、有理数的三角法の定式化が裏付けられた。