[論文レビュー] Chronological operator-valued Feynman-Kac formulae for generalized fractional evolutions

Vassili N. Kolokoltsov|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

advanced mathematical theories参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の混合されたCaputo型微分を伴う分数進化方程式の解に対して、時間反転Lévy劣化子に基づく確率的手法を用いて、一般化された時系列的演算子値Feynman-Kac公式を確立する。主な貢献は、後向き時系列的指数と劣化子経路上の期待値を用いた解の新しい積分表現であり、非可換作用素設定における時間に依存する状況にまで、Mittag-Leffler関数枠組みを拡張するものである。

ABSTRACT

We study the generalized fractional linear problem $D^ν_{a+*} f(x) =A(x)f(x)+g(x)$, where $D^ν$ is an arbitrary mixture of Caputo derivatives of order at most one and $A(x)$ a family of operators in a Banach space generating strongly continuous semigroups. For time homogeneous case, when $A(x)$ does not depend on time $x$, the solution is expressed by the generalized operator-valued Mittag-Leffler function. For the more involved time-dependent case we use the method of non-commutative operator-valued Feynman-Kac formula in combination with the probabilistic interpretation of Caputo derivatives suggested recently by the author to find the general integral representation of the solutions, which are new even for the case of the standard Caputo derivative $D^β_{a+*}$. In the point of view adopted here we analyse the fractional equations not as some 'exotic evolutions', but rather as 'standard' stationary problems leading to the stationary non-commutative operator-valued Feynman-Kac representation.

研究の動機と目的

• 時間に依存する非可換作用素係数を有する一般化された分数進化方程式の解に対する確率的積分表現の構築。
• 時間反転Lévy劣化子を用いて定義される一般化された分数微分の文脈において、古典的な演算子値Feynman-Kac公式を拡張すること。
• 非可換かつ時系列的指数フレームワークにおける静的問題として分数進化を統一的に扱う。
• 時間均一な場合における演算子値設定へのMittag-Leffler関数の一般化と、確率過程による時間非均一な場合への拡張。
• Banach空間における一般化された分数微分を含む境界値問題に対する厳密な解法枠組みを提供し、Schrödinger方程式およびFeller型方程式への応用を含む。

提案手法

• 時間反転Lévy劣化子によるCaputo微分の確率的解釈を用い、劣化過程の生成子として一般化された分数微分 $ D^{( u)}_{a+*} $ を定義する。
• 非可換な $ A(x) $ の場合に標準的な行列指数を置き換えるために、後向き時系列的指数 $ T\exp\left\{\int_t^s A_\tau d\tau\right\} $ を用いて伝搬子 $ U^{t,s} $ を表現する。
• 方程式 $ D^{( u)}_{a+*}f(x) = A(x)f(x) + g(x) $ の解を、劣化過程の初到達時刻 $ \sigma_a $ における期待値として導出する：$ f(x) = \mathbf{E}_\nu \int_0^{\sigma_a} e^{-\lambda s} T\exp\left\{\int_0^s A(Z_x(\tau)) d\tau\right\} g(Z_x(t)) dt $。
• 劣化子の遷移密度 $ G_{(\nu)}(t,dy) $ を用いて、一般化された演算子値Mittag-Leffler関数 $ E_{(\nu),z}(A) $ を定義する。これは $ \int_0^\infty e^{tA} \frac{\partial}{\partial t} \left( \int_z^\infty G_{(\nu)}(t,dy) \right) dt $ として与えられる。
• 時間劣化子のLévy測度 $ \nu $ に従う時間変更過程 $ Z_x(t) $ を用いて、時間に依存する $ A(x) $ の解を構築し、この時間変更フレームワークにおいてFeynman-Kac公式を適用する。
• 収縮半群の仮定の下で解の存在と一意性を証明し、近似および双対性技術を用い、分割の細分化における時系列指数の収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の混合されたCaputo微分を伴う分数進化方程式に対して、演算子値Feynman-Kac公式をどのように一般化できるか？
• RQ2 時間反転Lévy劣化子を用いて定義される一般化された分数微分の確率的解釈は何か？
• RQ3 生成子 $ A(x) $ が時間に依存し非可換である場合、時系列指数をどのようにして解を表現するために用いることができるか？
• RQ4 演算子値で時間非均一な場合における一般化されたMittag-Leffler関数の構造は何か？
• RQ5 Banach空間において、一般化された分数初期値問題の解が存在し、一意性を保つための条件は何か？

主な発見

• 一般化された分数進化方程式 $ D^{( u)}_{a+*}f(x) = A(x)f(x) + g(x) $ の解は、収縮半群の仮定の下で $ f(x) = \mathbf{E}_\nu \int_0^{\sigma_a} T\exp\left\{\int_0^s A(Z_x(\tau)) d\tau\right\} (A(Z_x(s))Y + g(Z_x(s))) ds $ として表され、ここで $ Y = f_a $ である。
• 時間均一な $ A $ の場合、解は劣化子の遷移密度を用いて定義される一般化された演算子値Mittag-Leffler関数 $ E_{(\nu),x-a}(A)Y $ を用いて表現される。
• 時間に依存する $ A(x) $ に対しても、時間劣化子に従う確率過程 $ Z_x(t) $ に埋め込むことで、一般化されたFeynman-Kac公式が拡張可能である。ここで時間劣化子のLévy測度は $ \nu $ である。
• 後向き時系列的指数 $ T\exp\left\{\int_s^t A(Z_x(\tau)) d\tau\right\} $ は、$ A $ が時間に関して不連続であっても、終端条件 $ f_t $ を持つ後向き初期値問題 $ \dot{f}_s = -A(Z_x(s))f_s $ を解く。
• 生成子 $ A(x) $ が収縮半群を生成すると仮定すれば、任意の有界可測関数 $ g: [a,\infty) \to B $ に対して、近似または双対性を用いて一般化された解が得られる。
• 具体的な応用例として、時間に依存するハミルトニアンを有する一般化された分数Schrödinger方程式およびFeller過程が挙げられ、解の公式はフーリエ変換および遷移密度を用いた明示的な積分表現を提供する。