[論文レビュー] Circle actions on a quantum Seifert manifold

Tomasz Brzeziński|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非可換量子セイフェルト3次元多様体上の円作用を用いて、量子重み付き実射影空間を商として構成し、量子円板および量子実射影平面の一般化を行う。連続関数代数の $K$-群をトーベルツ代数の拡張および記号写像を用いて計算し、負のねじれの場合に $K_0 \cong \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}^l$ かつ $K_1 = 0$ が得られ、その同型写像が繰り返し引き込みの構造を介してトーベルツ代数に明示的に与えられる。

ABSTRACT

The quotients of a (non-orientable) quantum Seifert manifold by circle actions are described. In this way quantum weighted real projective spaces that include the quantum disc and the quantum real projective space as special cases are obtained. Bounded irreducible representations of the coordinate algebras and the K-groups of the algebras of continuous functions on quantum weighted real projective spaces are presented.

研究の動機と目的

• 非可換量子セイフェルト3次元多様体上の円作用を用いて、量子重み付き実射影空間を商として構成することで、量子軌道空間を一般化すること。
• ハジャック、マタス、シュミャンスキの量子円板および量子実射影平面に関する手法を、この新しいクラスの量子空間へと拡張すること。
• 量子重み付き実射影空間上の連続関数の $C^*$-代数の $K$-群を計算すること。
• これらの量子空間の座標代数の有界な非可約表現を分析すること。
• 関数代数と繰り返し引き込みの構造を介したトーベルツ代数との同型を確立し、それらを量子円板および古典的円周境界と結びつけること。

提案手法

• 量子セイフェルト3次元多様体の座標 $*$-代数 $\mathcal{O}(\Sigma^3_q)$ を、$q$-変形された交換関係を満たす生成子 $\zeta_0, \zeta_1, \xi$ および中心的ユニタリ $\xi$ を用いて定義する。
• 量子2次元球面への $\mathbb{Z}_2$-コアクションを導入し、これを $\mathcal{O}(\Sigma^3_q)$ に $U(1)$-コアクションへと拡張し、互いに素な整数 $k,l$ を重みとして用いる。
• コインvariant部分代数 $\mathcal{O}(\mathbb{RP}_q(l;+))$ をコアクションの固定点代数として特定し、互いに素な重み $k,l$ でパrameter化する。
• 記号写像およびトーベルツ代数の構造を用いて、$C(\mathbb{RP}_q(l;+))$ を $C(S^1)$ 上の $l$ 重の $C(D_q)$ 代数の引き込み $C(D_q) \oplus_\sigma \cdots \oplus_\sigma C(D_q)$ として実現する。ここで $C(D_q) \cong \mathcal{T}$ である。
• コンパクト作用素と $C(\mathbb{RP}_q(l;+))$ を含む短完全系列を構成し、6項完全系列を用いて $K$-群の計算を可能にする。
• インデックス写像および準同型 $\delta_\pm$ の余核を用いて $K$-群を計算し、負のねじれの場合に $K_0 \cong \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}^l$ かつ $K_1 = 0$ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換量子セイフェルト3次元多様体上の円作用はどのように分類され、量子重み付き実射影空間の構成に用いられるか？
• RQ2 これらの量子重み付き射影空間上の連続関数の $C^*$-代数の構造は何か？
• RQ3 これらの代数の $K$-群は、量子円板および量子実射影平面のそれらとどのように関係するか？
• RQ4 ハジャック、マタス、シュミャンスキの量子円板に関する手法は、この新しいクラスの量子軌道空間へと一般化可能か？
• RQ5 記号写像およびトーベルツ代数の拡張は、関数代数を $C(D_q)$ の引き込みとして実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 代数 $C(\mathbb{RP}_q(l;+))$ は、$l$ 重の引き込み $C(D_q) \oplus_\sigma \cdots \oplus_\sigma C(D_q)$ に同型であり、ここで $\sigma$ は古典的円周を量子円板へ埋め込む境界包含に由来する記号写像である。
• 正のねじれの場合、$\pi(C(\mathbb{RP}_q(l;+))) \cong \mathcal{T}_1 \oplus_\sigma \cdots \oplus_\sigma \mathcal{T}_l$ が成り立ち、各 $\mathcal{T}_r \cong \mathcal{T}$ である。ここで $\mathcal{T}$ はトーベルツ代数を表す。
• $C(\mathbb{RP}_q(l;+))$ の $K$-群は $K_0 \cong \mathbb{Z}^l$ および $K_1 \cong \mathbb{Z}^l$ であり、インデックス写像 $\delta_+$ の余核から生じる。
• 負のねじれの場合、$K_1(C(\mathbb{RP}_q(l;-))) = 0$ かつ $K_0(C(\mathbb{RP}_q(l;-))) \cong \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}^l$ であり、同型写像は $\delta_-$ の余核によって誘導される。
• 計算により $l=1$ のとき、$C(\mathbb{RP}_q^2)$ の既知の $K$-群が回復され、先行研究と整合性が確認される。
• $C(\mathbb{RP}_q(l;-))$ の関数代数は、$l$ 回繰り返した $C(\mathbb{RP}_q^2) \oplus_{\bar{\sigma}} \cdots \oplus_{\bar{\sigma}} C(\mathbb{RP}_q^2)$ に同型であり、ここで $\bar{\sigma}$ は $S^1$ を $S_q^2$ に赤道的包含する写像から誘導される。