[論文レビュー] Circle and torus actions on equal symplectic blow-ups of CP^2

Yael Karshon, Liat Kessler|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{C}P^2$ の等サイズのシンプレクティックブLOWアップが有効な円またはトーラス作用をもつための鋭い位相的およびシンプレクティックな条件を確立する。モーメント写像理論、等変シンプレクティックブLOWダウン、およびデルツァント分類を用いて、$k$ 個の等サイズのブLOWアップが $k \leq 3$ のときハミルトニアントーラス作用を持ち、$(k-1)\epsilon < 1$ のときハミルトニアン円作用を持つことを証明した。$1/\epsilon$ が整数のとき、両方の境界は最適である。

ABSTRACT

A manifold obtained by k simultaneous symplectic blow-ups of CP^2 of equal sizes epsilon (where the size of CP^1 \subset CP^2 is one) admits an effective two dimensional torus action if k &lt;= 3 and admits an effective circle action if (k-1)epsilon &lt; 1. We show that these bounds are sharp if 1/epsilon is an integer.

研究の動機と目的

• $\mathbb{C}P^2$ の等サイズのシンプレクティックブLOWアップの最大数を特定し、それらが有効なトーラスまたは円作用をもつこと。
• そのような作用が存在するためのブLOWアップサイズ $\epsilon$ の鋭い上界を確立すること。
• 対称的および等変トポロジーを用いて、$1/\epsilon$ が整数のとき、これらの境界が最適であることを証明すること。
• ブLOWアップ多様体に円またはトーラス作用が存在するならば、シンプレクティックブLOWダウンを用いて特定の等変構造が導かれるということを示すこと。
• 特定のブLOWアップに対して円作用が存在しないという問題を、明示的な反例の構成によって解決すること。

提案手法

• モーメント写像像がデルツァント多面体であることを用いて、シンプレクティックトーリック多様体を分類するデルツァント定理を適用する。
• モーメント写像とモース＝ボット理論を用いて、円作用下での固定点集合および $\mathbb{Z}_k$-球面を分析する。
• 固定点データ（値、サイズ、ジャンル）を符号化するラベル付きグラフ不変量を構成し、等変シンプレクティック同相型の下でのハミルトニアン円作用を分類する。
• ブLOWアップにおける各例外的除集合クラス $E_i$ が非分解的であり、交差の正値性により、一意な $G$-不変シンプレクティック球面をサポートすることを証明する。
• $G$-不変な例外的球面に沿った等変シンプレクティックブLOWダウンを実行し、多様体を標準的シンプレクティック形式をもつ $\mathbb{C}P^2$ に還元する。
• ブLOWダウンごとに第二ベッチ数が1つ減少し、体積が $\pi^2\epsilon^2$ 増加することを用いて、逆のプロセスにより元の多様体を再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{C}P^2$ の等サイズのシンプレクティックブLOWアップを何個まで行えば、ハミルトニアントーラス作用が存在するか？
• RQ2 有効なハミルトニアン円作用をもつために許容されるブLOWアップサイズ $\epsilon$ の最大値は何か？
• RQ3 $1/\epsilon$ が整数のとき、$k$ および $\epsilon$ の境界は鋭いか？
• RQ4 $\mathbb{C}P^2$ の4つの例外的除集合（サイズ $1/3$）を持つブLOWアップ多様体に、シンプレクティック形式が円作用を保存するか？
• RQ5 ブLOWアップ多様体に円作用が存在する場合、そのシンプレクティック形式が標準形式と等変に同値であるか？

主な発見

• $\mathbb{C}P^2$ の $k$ 個の等サイズのシンプレクティックブLOWアップによって得られるシンプレクティック多様体が、有効なハミルトニアントーラス作用をもつための必要十分条件は $k \leq 3$ である。
• 同じ多様体が有効なハミルトニアン円作用をもつための必要十分条件は $(k-1)\epsilon < 1$ である。ここで $\epsilon$ は各ブLOWアップのサイズである。
• $1/\epsilon$ が整数のとき、$k$ および $\epsilon$ の境界は鋭い：より大きな $k$ もしくはより大きな $\epsilon$ ではこのような作用は存在しない。
• $k=4$ および $\epsilon=1/3$ のとき、ブLOWアップ多様体はシンプレクティック形式と円作用をもつが、いかなる円作用によってもそのシンプレクティック形式が保存されない。
• ブLOWアップにおける各例外的除集合クラス $E_i$ は、一意な $G$-不変シンプレクティック球面をサポートし、これらの球面は互いに交わらないかつ $G$-不変である。
• これらの球面に沿った等変シンプレクティックブLOWダウンの逆プロセスにより、元の $\mathbb{C}P^2$ が標準的シンプレクティック形式をもって再構成され、分類が証明される。