[論文レビュー] Circuit Complexity and Decompositions of Global Constraints

Christian Bessière, George Katsirelos+2 more|ArXiv.org|May 22, 2009

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 23被引用数 56

ひとこと要約

本稿は、回路複雑性とグローバル制約の充足可能性を充足するための論理式（CNF）への分解との間で形式的な関係を確立する。本稿は、グローバル制約のドメイン整合性伝搬器が多項式サイズのCNF分解を有するための必要十分条件が、多項式サイズの単調ブール回路によって計算可能であることであることを証明する。主な結果として、二部グラフにおける完全マッチングの単調回路複雑性における超多項式下界に起因し、AllDifferent制約のドメイン整合性伝搬器は多項式サイズのCNFに分解できないことが示される。

ABSTRACT

We show that tools from circuit complexity can be used to study decompositions of global constraints. In particular, we study decompositions of global constraints into conjunctive normal form with the property that unit propagation on the decomposition enforces the same level of consistency as a specialized propagation algorithm. We prove that a constraint propagator has a a polynomial size decomposition if and only if it can be computed by a polynomial size monotone Boolean circuit. Lower bounds on the size of monotone Boolean circuits thus translate to lower bounds on the size of decompositions of global constraints. For instance, we prove that there is no polynomial sized decomposition of the domain consistency propagator for the ALLDIFFERENT constraint.

研究の動機と目的

• グローバル制約をCNFに分解する際、伝搬強度を損なわずにその限界を特定すること。
• ドメイン整合性をユニット伝搬によって保つ効率的で多項式サイズのCNF符号化を許容するグローバル制約を理解すること。
• 回路複雑性のツールを用いて、このような分解のサイズに関する下界を確立すること。
• 有界なアリティを持つCSP制約と拡張的ドメインへの分解へとこれらの結果を拡張すること。
• より表現力の高い制約表現（例：大きなドメインを表すために境界を用いるもの）に及ぼす影響を検討すること。

提案手法

• 変数ドメイン上の単調的・収縮的・冪等的関数として伝搬器を形式化する。
• 解が与えられたドメインの下で存在する場合に1を返す単調ブール関数として整合性チェックャーを定義する。
• CNF分解からレイヤー構造の単調ブール回路を構築し、CNFにおけるユニット伝搬が回路評価に対応するようにする。
• ユニット伝搬が元の伝搬器と同一の整合性レベルを強制するための必要十分条件として、回路が同一の関数を計算することであることを証明する。
• 既知の単調回路複雑性における下界（特に、Razborovによる二部グラフにおける完全マッチングの超多項式下界）を活用し、CNF分解サイズに関する下界を導出する。
• 有界アリティのCSP制約と拡張的ドメインへの分解についても結果を拡張し、これらが多項式サイズのCNFに翻訳可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグローバル制約が、ユニット伝搬によるドメイン整合性を保つ多項式サイズのCNF分解を許容するか？
• RQ2 制約の伝搬器の計算複雑性とそのCNF分解サイズの間にはどのような関係があるか？
• RQ3 回路複雑性理論を用いて、グローバル制約のCNF分解サイズに関する下界を証明できるか？
• RQ4 AllDifferentのようなグローバル制約をCNFに分解する際、指数的増大を伴わずに限界があるか？
• RQ5 結果をより表現力の高い制約表現（例：大きなドメインを表すために境界を用いるもの）へと拡張できるか？

主な発見

• グローバル制約のドメイン整合性伝搬器が多項式サイズのCNF分解を有するための必要十分条件は、多項式サイズの単調ブール回路によって計算可能であることである。
• AllDifferent制約のドメイン整合性伝搬器は、二部グラフにおける完全マッチングの単調回路にRazborovの超多項式下界が存在するため、多項式サイズのCNFに分解できない。
• この結果は、グローバルカードINALティ制約（GCC）のようなAllDifferentの一般化に対しても拡張可能である。
• 有界アリティのCSP制約と拡張的ドメインへの分解は、多項式サイズのCNFに翻訳可能であるため、同様の下界が適用可能である。
• AllDifferentの境界整合性および範囲整合性伝搬器は分解可能であるため、制限はドメイン整合性に特異的であることが示される。
• 著者らは、ドメイン整合性伝搬器が境界に基づくドメイン表現を用いた制約に分解できないと予想しており、これは単調算術回路における類似の下界に起因する。