[論文レビュー] Circuits, Attractors and Reachability in Mixed-K Kauffman Networks

Ken A. Hawick, H. A. James+1 more|ArXiv.org|Nov 15, 2007

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、構造的回路とその吸引子ダイナミクスの関係を研究するため、混合-K カウフマンネットワークモデルを導入している。K≈1.5 の、以前報告されていなかった相転移が、回路の成長と到達可能性に影響を与えることが明らかになった。高速な回路列挙手法を用いて、回路数が吸引子数の下界をなすことが確立され、ランダムなブールネットワークにおけるネットワーク構造とダイナミカルな複雑性の直接的な関連が示された。

ABSTRACT

The growth in number and nature of dynamical attractors in Kauffman NK network models are still not well understood properties of these important random boolean networks. Structural circuits in the underpinning graph give insights into the number and length distribution of attractors in the NK model. We use a fast direct circuit enumeration algorithm to study the NK model and determine the growth behaviour of structural circuits. This leads to an explanation and lower bound on the growth properties and the number of attractor loops and a possible K-relationship for circuit number growth with network size N. We also introduce a mixed-K model that allows us to explore between pairs of integer K values in Kauffman-like systems. We find that the circuits' behaviour is a useful metric in identifying phase transitional behaviour around the critical connectivity in that model too. We identify an intermediate phase transition in circuit growth behaviour at K_S approximately 1.5, that is distinct from both the percolation transition at K_P = 1 and the Kauffman transition at K_C = 2. We relate this transition to mutual node reachability within the giant component of nodes.

研究の動機と目的

• カウフマン NK ネットワークにおける、未だ十分に理解されていない吸引子ダイナミクスの成長を理解すること。
• 回路の構造的役割が吸引子数および長さ分布に与える影響を調査すること。
• 整数 K 値の間で連続的に平均接続性 ⟨K⟩ を変化させることを可能にする、混合-K モデルを導入すること。
• 既知の K=1（透過）および K=2（カオス的）の閾値を超えた、ネットワーク接続性における新たな相転移を同定・特徴づけること。
• 相互ノード到達可能性と回路数が、接続性の増加に伴いどのように共進化するかを検討すること。

提案手法

• 有向ランダムグラフにおける構造的回路を直接的に高速に列挙するアルゴリズムを実装する。
• 各ノードのインデグリが非整数 ⟨K⟩ を中心とする離散分布から抽出される混合-K モデルを定義し、接続性の連続的探索を可能にする。
• ノードにおけるブール関数を同期的に更新し、真理値表は一様にランダムに割り当てる。
• 全ペア間の最短経路距離を用いて到達可能性を測定し、到達不能なペアは平均値に寄与しないことで、構造的制限を反映する。
• ネットワークサイズ N と平均接続性 ⟨K⟩ に応じた回路の成長を分析し、1 < ⟨K⟩ < 2 の領域に焦点を当てる。
• 回路数と吸引子ダイナミクスを比較し、回路数が吸引子数の下界であると提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな有向グラフにおける構造的回路の数は、ネットワークサイズ N と平均接続性 ⟨K⟩ にどのように依存するか？
• RQ2 K=1（透過）および K=2（カオス的転移）とは異なる接続性における回路成長の相転移が存在するか？
• RQ3 中程度の接続性領域における、相互ノード到達可能性と回路数の関係は何か？
• RQ4 回路列挙は、ランダムなブールネットワークにおける吸引子数の下界として機能できるか？
• RQ5 混合-K モデルは、標準的な整数-K NK モデルでは見えない構造的転移をどのように明らかにするか？

主な発見

• K≈1.5 で、透過転移（K=1）およびカオス的転移（K=2）とは異なる、構造的回路成長の転移が同定された。
• 構造的回路数は、弧の数 NA ≈ K·N の指数関数的関数として増加し、その指数は ⟨K⟩ に依存する。
• K≈1.5 で、ノード間ペアの全 traverse 距離が最大に達し、到達可能性のための有効な接続性のピークが示された。
• 高い K でさえも、ノード間の相互到達可能性は完全ではなく、ネットワーク内に「有向接続の断絶の島」が持続的に存在した。
• 巨大成分に属するノードの割合は、ネットワークサイズの増加に伴い鋭くなることで、透過転移がより明確になった。
• 回路数は、標準的および混合-K カウフマンネットワークの両方において、吸引子数の強固な下界を提供しており、ダイナミカルな複雑性の根本的構造的起源を示唆している。