[論文レビュー] Circuits with arbitrary gates for random operators

Stasys Jukna, Georg Schnitger|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意のゲートを用いた場合に、ランダムおよび線形ブール演算子の回路複雑性に対して強い下界を確立する。一般回路ではほとんどすべての n-演算子が Ω(n²) 本のワイヤーを必要とすることが証明され、中間層または出力ゲートが線形関数に制限された深さ2の回路では、線形演算子が Ω(n²/log n) 本のワイヤーを必要とする。この結果は、コルモゴロフ複雑性と情報理論的議論を用いて得られる。

ABSTRACT

We consider boolean circuits computing n-operators f:{0,1}^n --> {0,1}^n. As gates we allow arbitrary boolean functions; neither fanin nor fanout of gates is restricted. An operator is linear if it computes n linear forms, that is, computes a matrix-vector product y=Ax over GF(2). We prove the existence of n-operators requiring about n^2 wires in any circuit, and linear n-operators requiring about n^2/\log n wires in depth-2 circuits, if either all output gates or all gates on the middle layer are linear.

研究の動機と目的

• 任意のゲートが許可された場合に、ランダムな n-演算子が二次的サイズの回路を必要とするかどうかという未解決の問題を解明すること。
• GF(2) 上の線形演算子 f_A(x) = Ax の深さ2回路における複雑度を、ゲートタイプの制限を設けて分析すること。
• 不変性と情報理論的技法を用いて、ワイヤー数のタイトな下限を確立すること。
• 任意のゲートが許可されても、特定の演算子は本質的に近い二次的ワイヤー数を必要とすることを示すこと。

提案手法

• L ワイヤーで計算可能な n-演算子の数を上界づけ、すべての 2^{n2^n} 個の演算子をカバーするには L が Ω(n²) でなければならないことを示す、数え上げ的議論を用いる。
• コルモゴロフ複雑性に基づく不変性議論を適用し、ある行列 A が記述するのに n² ビットを要することを示し、これにより高い回路複雑性が生じることを示す。
• 回路解析を深さ2の構造に限定し、入力から出力への直接ワイヤーを含まないと仮定して符号化を単純化する。
• 隣接行列 B と C、および画像部分空間の基底ベクトルにおける出力関数の振るまいを格納することで、O(L log n) ビットで回路を符号化する。
• 画像部分空間における出力関数の線形性を活用し、基底での評価から全演算子を再構築する。
• 部分空間上の線形関数は、その基底における値によって完全に記述できることを活用し、記述長を短縮する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のゲートが許可された一般回路において、ランダムな n-演算子は Ω(n²) ワイヤーを必要とするか？
• RQ2 中間層ゲートが線形関数に制限された深さ2の回路において、GF(2) 上の線形演算子 f_A(x) = Ax は o(n²/log n) ワイヤーで計算可能か？
• RQ3 中間層に任意のゲートが許可されたとしても、深さ2回路における線形演算子の複雑度は本質的に高いか？
• RQ4 情報理論的またはコルモゴロフ複雑性の議論を用いて、一般回路モデルにおいて強い下限を確立できるか？
• RQ5 ゲートタイプに構造的制限を設けた深さ2回路において、ランダムまたは線形演算子を計算するのに必要な最小ワイヤー数は何か？

主な発見

• ほとんどすべての n-演算子に対して、最小ワイヤー数 s(f) は Ω(n²) である。これは、任意のゲートが許可されても二次的複雑性が必要であることを示している。
• 出力ゲートがすべて線形関数に制限された深さ2回路において、線形 n-演算子は Ω(n²/log n) ワイヤーを必要とする。
• 中間層ゲートがすべて線形関数に制限された深さ2回路において、線形 n-演算子は Ω(n²/log n) ワイヤーを必要とする。
• 回路が入力から出力への直接ワイヤーを一切使用しないという仮定のもとで下限が成り立つが、最適回路においてはこれに制限を設けることは一般性を失わない。
• 証明技法は、L をワイヤー数として、回路を O(L log n) ビットで符号化し、これと行列 A のコルモゴロフ複雑性を比較することに依存する。
• 著者らは、深さ2回路においてゲートタイプに制限がない場合でも、同様に Ω(n²/log n) の下限が成り立つと予想している。