[論文レビュー] Circular flows for the Euler equations in two-dimensional annular domains

François Hamel, Nikolaï Nadirashvili|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元のアニュラス領域における定常Euler流に対して、径対称性の結果を確立し、剛体壁境界条件および停滞点の不在の下で、流れが必ず円形（流線が同心円）であることを証明する。さらに、定常速度境界条件が領域を円板またはアニュラスに強制する自由境界問題を分類し、新しい比較原理と、ストリーム関数から導かれる半線形楕円型方程式に対する動径平面法を用いる。

ABSTRACT

In this paper, we consider steady Euler flows in two-dimensional bounded annuli, as well as in exterior circular domains, in punctured disks and in the punctured plane. We always assume rigid wall boundary conditions. We prove that, if the flow does not have any stagnation point, and if it satisfies further conditions at infinity in the case of an exterior domain or at the center in the case of a punctured disk or the punctured plane, then the flow is circular, namely the streamlines are concentric circles. In other words, the flow then inherits the radial symmetry of the domain. The proofs are based on the study of the trajectories of the flow and the orthogonal trajectories of the gradient of the stream function, which is shown to satisfy a semilinear elliptic equation in the whole domain. In exterior or punctured domains, the method of moving planes is applied to some almost circular domains located between some streamlines of the flow, and the radial symmetry of the stream function is shown by a limiting argument. The paper also contains two Serrin-type results in simply or doubly connected bounded domains with free boundaries. Here, the flows are further assumed to have constant norm on each connected component of the boundary and the domains are then proved to be disks or annuli.

研究の動機と目的

• 定常Euler流がアニュラス領域で径対称（円形）であるための幾何的および境界条件を特定すること。
• 定常速度境界条件が領域を円板またはアニュラスに強制する自由境界問題を分類すること。
• 動径対称性の証明に不可欠な、二重連結領域における半線形楕円型方程式のための新しい比較原理を開発すること。
• 適切な減衰または正則性条件の下で、非有界および穿孔領域へのLiouville型およびSerrin型定理を拡張すること。

提案手法

• ストリーム関数の動径対称性を証明するために、ストリームライン間のほぼ円形領域に適応した動径平面法を用いる。
• Euler方程式から導かれる半線形楕円型方程式の解としてストリーム関数を分析する。
• ODEおよびPDEの技法を用いて、ストリーム関数勾配の軌道および直交軌道を研究する。
• 小領域における強い最大原理および弱い最大原理を用いて、動径平面法における矛盾を導出する。
• 境界条件を課す：境界上で接線方向の流れ（剛体壁）、境界成分上で一定速度、無限大または原点で減衰／無限大条件。
• 動径平面法における極限的議論を用いて、極限まで対称性が保たれることを示し、完全な動径対称性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元アニュラス領域における定常Euler流が、どのような条件下で円形（すなわち、流線が同心円）になるか？
• RQ2 Euler方程式の自由境界問題を、定常速度境界条件が領域を円板またはアニュラスに強制するように解けるか？
• RQ3 二重連結領域における半線形楕円型方程式のための、対称性の証明に役立つ比較原理はどのようなものか？
• RQ4 領域が正確に対称ではないが、ストリームライン間ではほぼ円形であるような領域に対して、動径平面法はどのように適用されるか？

主な発見

• 有界なアニュラス領域、穿孔付きディスク、非有界外部領域、および穿孔付き平面において、停滞点がなく、接線方向境界条件が満たされる定常Euler流は、必然的に円形である。
• 単連結または二重連結領域における自由境界問題において、各境界成分で流れが一定速度であれば、領域は円板またはアニュラスでなければならない。
• 上記の条件下で、ストリーム関数およびその等高線（流線）は動径対称的であり、流れは領域の動径対称性を継承する。
• 二重連結領域における半線形楕円型方程式のための、新たな比較原理が確立され、これは動径平面法による対称性証明に不可欠である。
• ストリームライン間の領域に対して、極限的議論および小領域推定を用いることで、動径平面法が正確に対称ではない領域に対しても成功裏に適応可能である。