[論文レビュー] Circular unitary ensemble with highly oscillatory potential

Jinho Baik|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、固有値間隔スケールで周期的である高周波数の周期的ポテンシャルを有する円形ユニタリアンサンプル（CUE）を研究している。密度状態は大N極限においても周期的で収束しないが、局所的固有値相関関数は正弦核とポテンシャルの組み合わせに収束し、Λ/N が有理数のときのm点相関関数について、正確かつ漸近的な評価が与えられている。

ABSTRACT

We study the effect of highly oscillatory potentials to the eigenvalues of a random matrix. Consider the circular unitary ensembles with an external potential which is periodic with the period comparable to the average spacing of the eigenvalues. We show that in this case the density of states is periodic and does not converge in the large matrix limit, but the local correlation functions converge to some simple combinations of the sine kernel and the potential. We evaluate the correlation functions exactly and also asymptotically.

研究の動機と目的

• 微視的スケールの高周波数ポテンシャルが、確率的行列理論における固有値統計に与える影響を調査すること。
• このようなポテンシャル下でも局所的固有値相関が普遍性を保つかどうかを特定すること。標準的な正弦核の普遍性が破れる場合、その相関関数の形を同定すること。
• ポテンシャル周期が固有値間隔と可約（Λ/N が有理数）である場合のm点相関関数の正確かつ漸近的評価を行うこと。
• 局所的相関関数が、振動的ポテンシャルで重み付けられた正弦核の修正形に収束することを確立すること。
• 特にポテンシャルの極小値付近における固有値の統計的挙動を分析し、各井戸に1つの固有値が占拠する確率を評価すること。

提案手法

• 重み関数 $ w_{ u}(e^{i heta}) = e^{-V_{ u}(e^{i heta})} $ における単位円上の直交多項式を用い、ここで $ V_{ u}(e^{i heta}) = V(e^{i u heta}) $ であり、異なる $ \nu $ における直交多項式の間の変換則を確立する。
• 整数倍関係 $ \nu_1 = k\nu_2 $ を満たす $ \nu_1 $ と $ \nu_2 $ に対して、直交多項式を関連付ける重要な補題を適用し、相関関数の正確な計算を可能にする。
• 行列式点過程におけるFredholm行列式技術を用いて、ポテンシャル極小値回りの区間における固有値数の確率を計算する。
• ラプラス法を用いて、$ e^{t\text{cos}(2\theta)} $ を含む積分を漸近的に評価し、$ \theta = 0 $ の近傍での主要寄与に注目する。
• ハダマールの不等式を用いて高階相関行列式の上界を評価し、支配収束定理により項別極限の正当化を行う。
• m点相関関数をスケーリング変数 $ \tilde{\theta}_j = \frac{\theta_j}{2\tau} $ での積分に変換し、$ \frac{\text{sin}( \frac{\tau}{\nu} (\tilde{\theta}_j - \tilde{\theta}_k) ) }{ \text{sin}( \frac{\tau}{\nu N} (\tilde{\theta}_j - \tilde{\theta}_k) ) } $ を含む極限核が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有値間隔スケールで周期的である高周波数ポテンシャルは、円形ユニタリアンサンプルにおける局所的固有値相関関数にどのように影響を与えるか？
• RQ2 微視的スケールのこのようなポテンシャル下で、正弦核相関関数の普遍性が破れるか。もし破れるならば、相関関数はどのような形で持続するか？
• RQ3 ポテンシャル周期 $ \frac{2\tau}{\nu} $ が固有値間隔と可約（有理数）である場合、m点相関関数の正確かつ漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ4 ポテンシャル $ V_{\nu N}(\theta) $ の $ \nu N $ 個の極小値の各々に、1つの固有値が占拠する確率は何か？この確率は $ N, t \to \infty $ のときどのように振る舞うか？
• RQ5 Fredholm行列式の定式化を用いて、ポテンシャル極小値の近傍に正確に1つの固有値が存在する確率を厳密に計算できるか？

主な発見

• 密度状態は周期 $ \frac{2\tau}{\nu} $ をもち、大N極限においても収束せず、有界に保たれる。
• 局所的固有値相関関数は、正弦核と振動的ポテンシャルの組み合わせである極限核 $ S_m^{(\nu)}(\tilde{\theta}_1, \tilde{\theta}_2, \tilde{\theta}_m) $ に収束し、これはポテンシャルのフーリエ構造に依存する。
• ポテンシャル $ V(e^{i\theta}) = -t\text{cos}(\theta) $ の場合、各 $ \nu N $ 個の極小値の近傍に正確に1つの固有値が存在する確率は、$ N, t \to \infty $ のとき $ \frac{1}{\nu} $ に収束し、誤差は $ O(t^{-1}) $ である。
• すべての $ N $ 個の固有値が $ \frac{4\tau\tilde{\theta}}{\nu N} $-近傍に配置され、各近傍に高々1つの固有値が存在する確率は、$ t/N \to \infty $ のとき1に近づく。
• $ m \geq 2 $ のm点相関行列式 $ M_m $ は $ O(t^{-1}) $ で有界であり、Fredholm行列式の主要寄与は $ M_1 \approx \frac{1}{\nu} $ に由来し、結果として極限確率は $ \frac{1}{\nu} $ となる。
• ラプラス法による積分の漸近的評価により、極小値付近の固有値数の主要寄与がポテンシャルのテイラー展開における2次項から生じることが確認され、$ O(t^{-1}) $ の補正項が得られる。