[論文レビュー] Clamping and Synchronization in the strongly coupled FitzHugh-Nagumo model

Cristóbal Quiñinao, Jonathan Touboul|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2018

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、強い結合の極限における強力に結合されたFitzHugh-Nagumoニューラルネットワークの平均場ダイナミクスを調査し、Hopf-Cole変換を用いて、解が時間に依存する点に集中する特異なDirac測度上に集中することを示している。主な結果は、クランプ（固定点への集中）または同期化（安定な固定点または周期的軌道に対応）の挙動が出現することであり、これは元の決定的FitzHugh-Nagumo系のダイナミクスを模倣している。

ABSTRACT

We investigate the dynamics of a limit of interacting FitzHugh-Nagumo neurons in the regime of large interaction coefficients. We consider the dynamics described by a mean-field model given by a nonlinear evolution partial differential equation representing the probability distribution of one given neuron in a large network. The case of weak connectivity previously studied displays a unique, exponentially stable, stationary solution. Here, we consider the case of strong connectivities, and exhibit the presence of possibly non-unique stationary behaviors or non-stationary behaviors. To this end, using Hopf-Cole transformation, we demonstrate that the solutions exponentially concentrate around a singular Dirac measure as the connectivity parameter diverges, centered at the zeros of a time-dependent continuous function. We next characterize the points at which this measure concentrates, and exhibit a particular solution corresponding to a Dirac measure concentrated on a time-dependent point satisfying an ordinary differential equation identical to the original FitzHugh-Nagumo system. This solution may thus feature multiple stable fixed points or periodic orbits, respectively corresponding to a clumping of the whole system at rest, or a synchronization of cells on a periodic solution. We illustrate these results with numerical simulations of neural networks with a relatively modest number of neurons and finite coupling strength, and show that away from the bifurcations of the limit system, the asymptotic equation recovers the main properties of more realistic networks.

研究の動機と目的

• 強い電気的結合を有する大規模ニューラルネットワークのダイナミクスを理解すること、特に結合強度が発散する極限における挙動を対象とする。
• 強力に結合されたFitzHugh-Nagumoニューロンの平均場極限において、一意でない定常的または非定常的挙動がどのように出現するかを特定すること。
• 系がクランプ（静止状態への集中）または同期化（周期的集団的挙動）を示すための条件を確立すること。
• 截断法を用いて非グローバルリプシッツ性を有する駆動項への理論的拡張を実現し、古典的FitzHugh-Nagumoモデルの取り扱いを可能にすること。
• 平均場PDEと有限サイズネットワークのダイナミクスのギャップを埋めるために、中程度サイズのネットワークにおける数値シミュレーションと結果を照合すること。

提案手法

• 強い電気的結合を有する大規模ネットワークにおける1ニューロンの確率分布を記述する平均場PDEを定式化する。
• 結合パラメータε → 0の極限において、解の集中を解析するためHopf-Cole変換を適用する。
• 解が時間に依存する関数のゼロ点に中心を置いたDirac測度上に指数的に集中することを示す。
• 元のFitzHugh-Nagumo ODEと同一の微分方程式を満たす時間に依存する点にDirac測度が集中する特別な解が存在することを特定する。
• FitzHugh-Nagumo系における非グローバルリプシッツ性を有する駆動項を扱うために截断技術を用いる。
• 強い結合および非集中初期条件の下で中規模ネットワークの数値シミュレーションを用いて理論的予測を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合パラメータε → 0の極限において、平均場PDEの定常解はどのように振る舞い、複数の安定解が出現する条件は何か？
• RQ2 系が同期化（周期的集団的ダイナミクスに対応）を示す条件は何か？
• RQ3 極限ダイナミクスは、特に分岐点から離れた領域において、有限サイズのネットワークの本質的特徴を捉えられるか？
• RQ4 大規模ネットワークサイズと大規模結合の極限をとる順序が可換であるか、そしてその系の長期的挙動に与える影響は何か？
• RQ5 小さながゼロでない結合強度に対しても、極限系における周期的解が存続するか？その安定性を証明するための手法は何か？

主な発見

• 結合パラメータε → 0の極限において、平均場PDEの解は指数的に特異なDirac測度上に集中する。
• Dirac測度は、時間に依存する連続関数のゼロ点に集中しており、その関数は元のFitzHugh-Nagumo系と同一のODEを満たす。
• 特別な解が存在し、その場合系は周期的軌道に同期するか、固定点にクランプする。これは集団的静止状態または周期的状態に対応する。
• 中規模ネットワークの数値シミュレーションにより、漸近的極限方程式が予測する主なダイナミクス的特徴が回復された。
• 集中プロセスは急速に進行し、e^{-γt/ε}のオーダーのプロファイルを示しており、電圧がネットワーク平均値のε範囲内に保たれるような能動的制約が働く可能性がある。
• ε > 0 に対して、極限系における複数の安定解や周期的解の存在は未解決のままだが、有限時間区間内では一様収束が成立する。