[論文レビュー] Clark-Ocone type formula for non-semimartingales with non-trivial quadratic variation

Cristina Di Girolami, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|May 19, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、可分バナッハ空間内の非準マーティングル過程に対して、正則化技術を用いた確率的微分積分学の枠組みを構築し、伊藤の公式と、ブラウン運動と同一の有限二次変動を持つ過程に対する一般化されたクラーク・オコネ表現を可能にする。主な貢献は、無限次元偏微分方程式の解を用いたクラウス展開に基づく表現である。

ABSTRACT

We provide a suitable framework for the concept of finite quadratic variation for processes with values in a separable Banach space $B$ using the language of stochastic calculus via regularizations, introduced in the case $B= \R$ by the second author and P. Vallois. A special attention is devoted to the {\it window} process associated with a real finite quadratic variation process which takes naturally values in the Banach space $B= C([- au,0])$. An appropriated Ito formula is presented, from which we derive a generalized Clark-Ocone formula for non-semimartingales having the same quadratic variation as Brownian motion. The representation is based on solutions of an infinite dimensional PDE.

研究の動機と目的

• 正則化手法を用いて、バナッハ空間内の非準マーティングル過程への確率的微分積分学の拡張を図ること。
• 値が可分バナッハ空間 B にとる過程の有限二次変動の定義と分析を行うこと。
• パス依存的関数型の自然なモデルとしての C([-τ,0]) におけるウィンドウ過程の研究を行うこと。
• 非準マーティングル過程に非自明な二次変動を持つ場合に適用可能な伊藤の公式を導出すること。
• 非準マーティングル過程に対して、無限次元偏微分方程式の解に基づくクラーク・オコネ型の表現を確立すること。

提案手法

• 正則化による確率的微分積分学の枠組みを、バナッハ空間値過程に適応すること。
• 有限二次変動過程に関連するウィンドウ過程を、C([-τ,0])-値過程として導入すること。
• バナッハ空間設定下で、非自明な二次変動を持つ過程に対する新しい伊藤の公式を導出すること。
• 伊藤の公式を応用して、一般化されたクラーク・オコネ表現公式を導出すること。
• 過程の関数型のクラウス展開を表すために、無限次元偏微分方程式の解を用いること。
• 二次変動構造と偏微分方程式の解空間との間の接続を通じて、表現を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可分バナッハ空間に値をとる過程に対して、有限二次変動をどのように厳密に定義できるか。
• RQ2 C([-τ,0]) におけるウィンドウ過程は、非準マーティングル過程のパス依存的関数型をモデル化する上で果たす役割は何か。
• RQ3 バナッハ空間において、非自明な二次変動を持つ非準マーティングル過程に対して、伊藤の公式を確立できるか。
• RQ4 二次変動がブラウン運動と同一であるが準マーティングルでない過程に対して、一般化されたクラーク・オコネの公式はどのように拡張されるか。
• RQ5 この文脈において、関数型のクラウス展開と無限次元偏微分方程式の解との間の関係は何か。

主な発見

• 可分バナッハ空間 B に値をとる過程に対して、正則化による確率的微分積分学が成功裏に拡張された。
• 有限二次変動過程に関連するウィンドウ過程は自然に C([-τ,0]) に値をとり、パス依存的解析が可能になる。
• バナッハ空間設定下で、非自明な二次変動を持つ非準マーティングル過程に対する伊藤の公式が導出された。
• 二次変動がブラウン運動と同一であるが準マーティングルでない過程に対して、一般化されたクラーク・オコネの公式が確立された。
• 関数型の表現は、無限次元偏微分方程式の解を用いて達成され、クラウス展開の枠組みが提供された。
• この枠組みにより、古典的結果を準マーティングル理論の範囲を越えて、確率積分と偏微分方程式の解を用いた関数型の表現が可能になった。