[論文レビュー] Class numbers and representations by ternary quadratic forms with congruence conditions

Kathrin Bringmann, Ben Kane|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、三元二次形式による整数の表現と合同条件との間の均一な公式を、Hurwitz類数へと結びつける。整数係数の三元二次形式で genus class number が1であるものについて、変数に特定の合同条件を課した表現数が、全表現数に比例することを証明している。割合定数は、整数を固定された法で割った剰余類にのみ依存する。

ABSTRACT

In this paper, we are interested in the interplay between integral ternary quadratic forms and class numbers. This is partially motivated by a question of Petersson.

研究の動機と目的

• 変数に合同条件を組み込んだ古典的公式（平方和と類数の関係）を拡張すること。
• genus class number が1であるようなすべての三元二次形式のうち、そのような合同制約付き表現数が全表現数に比例するものを見つけること。
• すべての $ (\bm{h}, N) $ の組に対して、$ r_{\bm{a},\bm{h},N}(n) $ が $ r_{\bm{a}}(n) $ に比例するような $ (\bm{h}, N) $ のペアを体系的に特定すること。この比例定数は $ n \mod M $ のみに依存する。
• これらの形式と合同類に対して、Siegel-Weil平均および類体論を用いて、比例定数の明示的公式を導出すること。
• Petersson が提起した、特に $\bm{a} = (1,1,1)^T$ および $N=4$ の場合の特定の合同条件に関する問いを解決すること。

提案手法

• Siegel-Weil平均公式を用いて、合同条件付き表現数を局所的密度および類数と関連付ける。
• Jones による genus class number が1である三元二次形式の分類を適用し、genus class number が1である形式 $Q_{\bm{a}}$ に限定する。
• 合同部分群 $\Gamma_0(N)$ 上のモジュラー形式の次数公式を用いて、尖点形式空間の次元を評価し、恒等式の検証を可能にする。
• Eisenstein 級数および尖点形式に関する既知の結果を用いて、$ r_{\bm{a}}(n) $ および $ r_{\bm{a},\bm{h},N}(n) $ に関連するモジュラー形式の係数を比較することで、明示的公式を導出する。
• 類数が1の形式では、genus 平均が全表現数に一致することを用いて、解析を単純化する。
• $p$-進性および局所的密度に基づき、$ n \mod M $ のみに依存する比例定数 $d_{\bm{a},\bm{h},N}(n)$ の表を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数係数三元二次形式 $Q_{\bm{a}}$ で genus class number が1であるものについて、変数 $\bm{x}$ に合同条件を課した表現数 $r_{\bm{a},\bm{h},N}(n)$ が、$r_{\bm{a}}(n)$ に対して一様に比例する条件は何か？
• RQ2 $r_{\bm{a},\bm{h},N}(n) $ と $ r_{\bm{a}}(n) $ を結ぶ比例定数 $ d_{\bm{a},\bm{h},N}(n) $ の明示的値は何か？また、$ n \mod M $ にどのように依存するか？
• RQ3 Petersson や Ebel が特定の $\bm{h}$ および $N$ に対して観察した恒等式は、genus class number が1であるすべての形式へ一般化可能か？
• RQ4 変数 $\bm{x}$ に課された合同条件が、表現を固定された法 $N$ での剰余類に強制する程度は何か？また、その条件が成立しない場合はどのような場合か？
• RQ5 局所的密度 $\beta_{(Q,\bm{h},N),p}(n)$ をどのように用いて、表現数とHurwitz類数を結ぶグローバルな公式を導出できるか？

主な発見

• 各 $\bm{a} \in \mathcal{C}$ および各 $ (\bm{h}, N) \in \mathcal{S}_{\bm{a}} $ に対して、$ r_{\bm{a},\bm{h},N}(n) = d_{\bm{a},\bm{h},N}(n) r_{\bm{a}}(n) $ が成り立ち、ここで $ d_{\bm{a},\bm{h},N}(n) $ は $ n \mod M $ のみに依存する。
• $\bm{a} = (1,1,1)^T $ の場合、$\bm{h} = (0,1,1)^T$ に対して、$ r_{\bm{1},\bm{h},4}(n) = \frac{1}{12} \delta_{n \equiv 2 \pmod{8}} r_{\bm{1}}(n) = \delta_{n \equiv 2 \pmod{8}} H(4n) $ が成り立ち、表現数がHurwitz類数と結びつく。
• $\bm{a} = (1,2,2)^T $ および $\bm{h} \in \{(1,0,3)^T, (3,1,2)^T\}$ の場合、$ r_{\bm{a},\bm{h},6}(n) = \delta_{n \equiv 19 \pmod{24}} (H(4n) - 2H(n)) $ が成り立ち、合同類に非自明な依存関係が現れる。
• 比例定数 $ d_{\bm{a},\bm{h},N}(n) $ は付録Aに明示的に表が掲載されており、その合同類が存在しない場合は0となる。
• この方法により、このような恒等式が $Q_{\bm{a}}$ が類数1である場合にのみ生じることを確認した。これは、Siegel-Weil平均および局所的密度解析によって示された。
• 付録Dに係数を掲載した。次数公式を用いて尖点形式空間の次元の上限を導出し、すべての $\bm{a} \in \mathcal{C}$ に対してモジュラー恒等式の検証が可能である。