[論文レビュー] Class VII surfaces with $b_2$ curves

Georges Dloussky, Karl Oeljeklaus+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、$b_2(S) > 0$ かつ正確に $b_2(S)$ 個の有理曲線を持つ、Kodaira のクラス $\rm{VII_0}$ に属する最小複素曲面 $S$ がグローバルな球面シェルをもつという、Ma. Kato の予想を証明する。証明は、曲線の補集合の普遍被覆上でのねじれ正則ベクトル場を用い、普遍被覆が $\mathbb{H} \times \mathbb{C}$ に正則同型であることを示し、基本群の作用を特定することで、収縮型の局所写像を再構成する。Favre の分類により、この局所写像はグローバルな球面シェル構成から得られることが示される。

ABSTRACT

We give an affirmative answer to a conjecture of Ma. Kato, namely that every compact complex surface $S$ in Kodaira's class $VII_0$ with $b_2(S) > 0$ and $b_2(S)$ rational curves, admits a global spherical shell.

研究の動機と目的

• Kodaira のクラス $\rm{VII_0}$ に属する最小複素曲面 $S$ で、$b_2(S) > 0$ かつ正確に $b_2(S)$ 個の有理曲線をもつものについて、グローバルな球面シェルをもつという Ma. Kato の予想を証明すること。
• Nakamura が「特別型」と呼ぶこの種の曲面が、ホモロジカルに自明な除集合や正則ベクトル場といった追加構造を必要とせず、グローバルな球面シェルをもつことを確立すること。
• 「中間型特別型」特別表面の残りのケースを解消することで、$b_2 > 0$ の $\rm{VII_0}$ 表面の分類を完成させること。

提案手法

• 有理曲線の配置と、有限分岐被覆上の正則バンドルの数値的除集合的性質を用いて、曲面 $S$ 上にねじれ対数1形式を構成する。
• $D$ を有理曲線の和集合とするとき、$S \setminus D$ の普遍被覆 $\tilde{S}$ に移行し、ねじれベクトル場が $\tilde{S}$ 上の真の正則ベクトル場に引き上げられることを示す。
• $\tilde{S} \setminus \tilde{D}$ 上の正則ベクトル場が完全可積分であり、かつ $\tilde{S} \setminus \tilde{D}$ が $\mathbb{H} \times \mathbb{C}$ に正則同型であることを証明する。
• $\pi_1(S \setminus D)$ の $\mathbb{H} \times \mathbb{C}$ 上の作用を解析し、それが平行移動と収縮型正則写像によって生成されることを示す。
• 群の作用を共役変換により正規形に持ち込み、それがグローバルな球面シェル構成の定義局所写像として同定されることを示す。
• C. Favre のこのような局所写像の分類を用いて、曲面 $S$ がグローバルな球面シェル構成から得られることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kodaira のクラス $\rm{VII_0}$ に属する最小複素曲面 $S$ で、$b_2(S) > 0$ かつ正確に $b_2(S)$ 個の有理曲線をもつものについて、グローバルな球面シェルをもつだろうか？
• RQ2 有理曲線の補集合の普遍被覆上の基本群の作用が、曲面の定義局所写像を再構成するために利用できるだろうか？
• RQ3 中間型特別型の特別表面における有理曲線の配置は、追加の幾何的仮定なしにグローバルな球面シェルの存在を示唆するのに十分だろうか？
• RQ4 普遍被覆上にねじれ正則ベクトル場が存在することは、曲面のグローバル構造を帰結するために利用できるだろうか？
• RQ5 Favre による収縮型局所写像の分類は、曲面がグローバルな球面シェル構成から生じる必要があることを示唆するだろうか？

主な発見

• 主要定理が証明された：$b_2(S) > 0$ かつ正確に $b_2(S)$ 個の有理曲線をもつ、クラス $\rm{VII_0}$ の最小複素曲面 $S$ は、グローバルな球面シェルをもつ。
• $D$ を有理曲線の和集合とするとき、$S \setminus D$ の普遍被覆は $\mathbb{H} \times \mathbb{C}$ に正則同型であり、基本群は平行移動と収縮型正則写像によって作用する。
• $\pi_1(S \setminus D)$ の $\mathbb{H} \times \mathbb{C}$ 上の作用は、$(w,z) \mapsto (w+2\pi i, z)$ および $(w,z) \mapsto (kw, \lambda z + Q(e^{-w}))$ で生成される群に共役である。ここで $Q$ は特定の整除性を持つ多項式である。
• 収縮型局所写像 $f(\xi,z) = (\xi^k, \lambda \xi^{l'(k-1)} z + P(\xi))$ は局所的に単射であり、グローバルな球面シェルをもつ最小曲面から生じる。
• 曲面 $S$ の同型型は局所写像によって完全に決定され、この局所写像がグローバルな球面シェルをもつ曲面を定義することは既知であるため、$S$ 自身もこのようなシェルをもつ。
• 交差行列が負定値であり、$(-1)$-曲線が存在しないことから、$S \setminus D$ とグローバルな球面シェル曲面の最大除集合の補集合との同型が、全曲面の同型に一意に拡張される。