[論文レビュー] Classes and equivalence of linear sets in $PG(1,q^n)$

Bence Csajbók, Giuseppe Marino+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2016

Coding theory and cryptography被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、PG(1, q^n)におけるFq-線形集合の同型および分類を調査し、単純でない線形集合を区別するためのZ(ΓL)-類とΓL-類を導入する。トレース関数によって定義される線形集合が単純であることを証明し、シンプレクティック極性の下での双対性を用いて非単純な線形集合を構成し、n ≥ 5の範囲で、擬正則型とは異なる種類の線形集合が存在することを示す。ΓL-類はMRD符号の同型類およびRédei型ブロッキングセットと関連している。

ABSTRACT

The equivalence problem of $\mathbb{F}_q$-linear sets of rank n of $PG(1,q^n)$ is investigated, also in terms of the associated variety, projecting configurations, $\mathbb{F}_q$-linear blocking sets of R\'edei type and MRD-codes.

研究の動機と目的

• PG(1, q^n)におけるFq-線形集合のランクnをPΓL(2, qn)同型に関して分類すること。
• Fq-部分空間が次元nである2つが同じ線形集合を定義するための条件を理解すること。
• 線形集合が単純である、すなわち同型がΓL-軌道同型を意味する条件を特徴づけること。
• 線形集合のΓL-類が関連するMRD符号の同型類およびRédei型ブロッキングセットとどのように関連するかを関連づけること。
• n ≥ 5、n ≠ 6の範囲で、既知の擬正則型とは異なる非単純なFq-線形集合の新しい例を構成すること。

提案手法

• 同型分類を精緻化するために、線形集合のZ(ΓL)-類およびΓL-類を導入する。
• W上の非退化な交代形式βによって誘導される双対性を用い、正規化補空間U⊥をTrqn/q ◦ βを用いて定義する。
• UとU⊥が異なるΓL(2, qn)-軌道にあるならば、LUは非単純であることを示す。
• 射影的配置および部分幾何学的射影の理論を用いて、線形集合とブロッキングセット、MRD符号との関係を関連づける。
• ブロッキングセットまたはMRD符号の同型がΓL-類の不変量に対応することを用いる。
• 既知のq多項式および方向集合の結果を活用し、線形集合のランクおよび重み分布を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PG(1, q^n)におけるFq-線形集合のランクnがPΓL(2, qn)に関していつ同型となるか。
• RQ2 線形集合の同型が、定義する部分空間のΓL-軌道同型を意味するための条件は何か。
• RQ3 n ≥ 5、n ≠ 6の範囲で、既知の擬正則型とは異なる非単純なFq-線形集合が存在するか。
• RQ4 線形集合のΓL-類は、生成される非同型MRD符号またはRédei型ブロッキングセットの数とどのように関係するか。
• RQ5 トレース関数Trqn/q(x)によって定義される線形集合は単純であるか。そのΓL-類は何か。

主な発見

• トレース関数Trqn/q(x)によって定義されるFq-線形集合は単純であり、Z(ΓL)-類およびΓL-類ともに1に等しい。
• n ≤ 4のとき、PG(1, q^n)におけるFq-線形集合のランクnはすべて単純である。
• n ≥ 5の範囲で、擬正則型とは異なる種類の非単純な線形集合が存在し、シンプレクティック極性の下での双対性を用いて構成される。
• 線形集合LUのΓL-類は、LUを含む非同型のFq-線形ブロッキングセットのRédei型の数に等しい。
• LUのΓL-類は、LUから得られる非同型MRD符号の数に対応し、使用される同型定義に依存する。
• 線形集合の族LU4 = {⟨(x, δx^{qs} + x^{q^{n-s}})⟩Fqn : x ∈ F_q^n^*}は、LU1–LU3とは非同型な線形集合を含み、新たなMRD符号族の可能性を示唆する。