[論文レビュー] Classes caract\'eristiques des sch\'emas feuillet\'es

Bertrand Toën|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、任意の基底上でのスキームにおける導来foliationを導入し、導来代数幾何を用いて古典的foliationを一般化する。導来de RhamコホロロジーにHodgeフィルトレーションを構成し、導来foliationに沿った平坦接続を持つ完全複体のチャーン類が、関連するHodge順序付き部分に於いて消えることを証明する。これにより、正標数におけるボットの消滅定理の拡張と、クリスタリンコホロロジーにおけるバウム＝ボット型の留数公式が得られ、特異foliationが正標数の完備体上に存在する応用を有する。

ABSTRACT

We study a notion of derived foliations on schemes and derived schemes of arbitrary characteristics. We introduce the Hodge filtration associated to a derived foliation, which functorialy filters derived de Rham cohomology. We use this filtration to study vanishing results of Chern classes of perfect complexes endowed with connexions along derived foliations. As an application, we prove a positive characteristic version of Bott's vanishing theorem and more generally of existence of residues for foliations with singularities due to Baum-Bott in characteristic zero.

研究の動機と目的

• 導来代数幾何を用いて、古典的foliation理論を正標数に一般化すること。
• Gmと順序付き円周の半直積からなる群の作用として導来foliationを定義し、Gmからの順序と混合Hodge構造を表現する。
• 導来de Rhamコホロロジーに、縦方向および正規のコホロロジー的データを捉えるHodgeフィルトレーションを構成すること。
• 導来foliationに沿った平坦接続を持つ完全複体のチャーン類が、Hodge順序付きコホロロジーの0次部分に於いて消えることを証明すること。
• 正標数におけるクリスタリンコホロロジーに、ボットの消滅定理とバウム＝ボット留数公式を拡張すること。

提案手法

• Gm ⋉ Z の半直積Hの作用として導来foliationを定義し、Zは[MRT19]における順序付き円周である。
• 法線被覆への変形を用いて、古典的foliated多様体上のHodgeフィルトレーションを一般化し、導来de RhamコホロロジーにHodgeフィルトレーションを構成する。
• Hodgeフィルトレーションのファンクターイリティを用いて、平坦接続を持つ完全複体のチャーン類がHodge-0部分に於いて消えることを証明する。
• Hodge-PDフィルトレーションに沿った完備化を用いて、導来de Rhamコホロロジーとクリスタリンコホロロジーを関係付ける。
• W(k)上での滑らかなアフィンスキームに対して、完備化されたde Rhamとクリスタリンコホロロジーの間の比較準同型を構成し、それが準同型的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来的手法を用いて、古典的ボットの消滅定理を正標数に拡張することは可能か？
• RQ2 正標数における特異foliationに、バウム＝ボット留数公式をどのように一般化できるか？
• RQ3 Gmからの順序と順序付き円周からの混合Hodge構造を両方捉える、正しい導来foliationの一般化とは何か？
• RQ4 導来de Rhamコホロロジー上のHodgeフィルトレーションは、どのように縦方向および正規のコホロロジー的データを表現するか？
• RQ5 de Rhamからクリスタリンコホロロジーへの完備化写像が準同型的であるための条件は何か？

主な発見

• 任意の平坦接続を持つ完全複体のチャーン類は、導来de RhamコホロロジーのHodge順序付き部分の0次に於いて消える。
• 正標数において、完備体k上の滑らかな多様体XがS = Spec W(k)上の導来foliationの基底変換から来るfoliationを持つとき、任意の同次多項式φが、dより大きい次数qのチャーン類の積に於いてクリスタリンコホロロジーで消える：φ(c1(D), ..., cd(D)) = 0 in H2q cris(X/W(k))。
• C∗_dR(X/S)上の導来Hodgeフィルトレーションは乗法的かつファンクター的であり、0次部分は縦方向（foliated）コホロロジーを計算する。
• Hodge-PDフィルター付きde Rham複体からクリスタリンコホロロジー複体への完備化写像は、W(k)n上での滑らかなアフィンスキームに対して準同型的である。
• C∗_dR(Spec π0(A)/Sn)からbC∗_cris(Spec π0(A)/Sn)への比較準同型ψの構成は、滑らかなπ0(A)を有する単体的Wn(k)-代数Aに関してファンクター的である。
• 主な技術的ステップは、基底スキームがk上滑らかであるとき、クリスタリンコホロロジー複体上のHodge-PDフィルトレーションが完備であることを証明することであり、これには[Ber74, V-2.3.2]とW(k)nへの滑らかなリフトの存在に依存する。