[論文レビュー] Classes of infinitely divisible distributions on R^d related to the class of selfdecomposable distributions

Makoto Maejima, Muneya Matsui+1 more|ArXiv.org|Sep 8, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Jurek級（s自己分解的）と自己分解的級の間の接続クラスのパラメータ範囲を拡張することにより、ℝ^d 上の無限可除分布の新たなクラスを導入し、特徴づける。Lévy過程に関する確率積分写像を用いてネストされた部分クラスを定義・分析し、確率積分表現とLévy測度の両面から双対的特徴づけを提供する。反復写像の定義域および値域の条件、およびLévy測度のモーメント条件に関する主要な結果を提示する。

ABSTRACT

This paper studies new classes of infinitely divisible distributions on R^d. Firstly, the connecting classes with a continuous parameter between the Jurek class and the class of selfdecomposable distributions are revisited. Secondly, the range of the parameter is extended to construct new classes and characterizations in terms of stochastic integrals with respect to Levy processes are given. Finally, the nested subclasses of those classes are discussed and characterized in two ways: One is by stochastic integral representations and another is in terms of Levy measures.

研究の動機と目的

• ℝ^d におけるJurek級と自己分解的級の間の接続クラスの連続的パラメータ範囲を拡張すること。
• Lévy過程に関する確率積分写像を用いて、無限可除分布の新たなクラスを定義・分析すること。
• これらの写像の値域を、2つの同等のアプローチ（確率積分表現とLévy測度構造）によって特徴づけること。
• 確率積分写像の反復によって得られるネストされた部分クラスを調査し、属するための必要十分条件を導出すること。

提案手法

• 本稿は、非増大関数 $\ell_\xi$ で表される $\ell_\xi(r) \to 0$ $(r \to \infty)$ を満たす $\nu_\xi(dr) = r^{-\alpha-1}\ell_\xi(r)dr$ を満たす径方向Lévy測度成分を用いて、$\alpha < 2$ に対して $K_\alpha(\mathbb{R}^d)$ を定義する。
• Sato (2006b) の結果を一般化するために、Lévy過程に関する確率積分を用いて $\alpha \in \mathbb{R}$ に対して写像 $\Phi_\alpha$ を導入する。
• 定義域 $\mathfrak{D}(\Phi_\alpha^{m+1})$ は、$\int_{|x|>1}|x|^\alpha(\log|x|)^m\nu(dx) < \infty$ および $\gamma = -\int \frac{x|x|^2}{1+|x|^2}\nu(dx)$ を含む特定のドリフト条件によって特徴づけられる。
• ネストされた部分クラスは $\Phi_\alpha^{m+1}$ の反復によって構成され、その値域は確率積分形と明示的なLévy測度条件の両方で特徴づけられる。
• 本稿は、$\Phi_\alpha^{m+1}$ の値域に属するすべての $\widetilde{\mu} \in I(\mathbb{R}^d)$ に対して、$\widetilde{\nu}(dx) = \int_0^\infty \varepsilon_{\alpha,m}^*(t)dt \, \nu(dx)$ を満たす $\nu$ が存在することを証明する。ここで $\varepsilon_{\alpha,m}^*(t)$ は $t^{2-\alpha}(\log t^{-1})^m$ を用いて定義される。
• 写像 $\Phi_\alpha^{m+1}$ における属するための必要十分条件として、積分収束性とモーメント条件を用いた、前像の存在性との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ^d において、Jurek級と自己分解的級の間の接続クラスのパラメータ範囲を $\alpha \in [-1,0]$ を超えてどのように拡張できるか？
• RQ2 無限可除分布の新たなクラスを生成する確率積分写像 $\Phi_\alpha$ の、正確な定義域および値域条件は何か？
• RQ3 $\Phi_\alpha^{m+1}$ の反復によって得られるネストされた部分クラスは、Lévy測度および確率積分表現の観点からどのように特徴づけられるか？
• RQ4 Lévy測度にどのようなモーメント条件を課すと、分布が $\Phi_\alpha^{m+1}$ の値域に属するようになるか？
• RQ5 与えられた無限可除分布が、その定義域内の別の分布に $\Phi_\alpha^{m+1}$ を適用した像として得られるための条件は何か？

主な発見

• パラメータ $\alpha < 2$ に対して定義されるクラス $K_\alpha(\mathbb{R}^d)$ は、径方向Lévy測度成分 $\nu_\xi(dr) = r^{-\alpha-1}\ell_\xi(r)dr$ を用いて、Jurek級（$K_{-1}$）と自己分解的級（$K_0$）を一般化する。ここで $\ell_\xi$ は非増大関数で、$r \to \infty$ のとき $\ell_\xi(r) \to 0$ を満たす。
• $\alpha < 0$ の場合、本稿は $K_\alpha(\mathbb{R}^d)$ に属する分布の分解可能性について、完全な証明を提供し、既知の結果を拡張する。
• 写像 $\Phi\_\alpha$ はLévy過程に関する確率積分によって定義され、その定義域 $\mathfrak{D}(\Phi_\alpha^{m+1})$ は $\int_{|x|>1}|x|^\alpha(\log|x|)^m\nu(dx) < \infty$ および特定のドリフト条件によって特徴づけられる。
• $\Phi_\alpha^{m+1}$ の値域は完全に特徴づけられている：分布 $\widetilde{\mu}$ が値域に属するのは、$\widetilde{\nu}(dx) = \int_0^\infty \varepsilon_{\alpha,m}^*(t)dt \, \nu(dx)$ を満たす $\nu$ が定義域内に存在するとき、かつそのときに限る。ここで $\varepsilon_{\alpha,m}^*(t) = t^{2-\alpha}(\log t^{-1})^m$ である。
• $0 < \alpha < 2$ の場合、$\Phi_\alpha^{m+1}$ の値域に属するすべての $\widetilde{\mu} \in I(\mathbb{R}^d)$ に対して、$\widetilde{\nu}$ が $\int_{\mathbb{R}^d}\frac{|x|^3}{1+|x|^2}\widetilde{\nu}(dx) < \infty$ および $\widetilde{\gamma} = -\int \frac{x|x|^2}{1+|x|^2}\widetilde{\nu}(dx)$ を満たすことが保証され、ドリフト補正の可積分性が確保される。
• 本稿は、$\Phi_\alpha^{m+1}(\mu) = \widetilde{\mu}$ であるための必要十分条件として、$\widetilde{\nu}$ と $\widetilde{\gamma}$ が $\nu$ と $\gamma$ に対して積分核 $\varepsilon_{\alpha,m}^*(t)$ を介して関連づけられ、積分の収束性が値域への属するための条件を満たすことを確立する。