[論文レビュー] Classical 2-absorbing submodules of modules over commutative rings

Hojjat Mostafanasab, Ünsal Teki̇̀r+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2015

Rings, Modules, and Algebras参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、可換環上の加群における古典的2吸収的部分加群を導入し、それらを調査する。これは古典的素的部分加群および2吸収的部分加群の一般化である。本稿では、重要な特徴づけを確立し、ネーター加群が有限個の最小古典的2吸収的部分加群を含むことを証明し、分解定理を用いて有限直積加群におけるこのような部分加群を完全に記述する。

ABSTRACT

In this article, all rings are commutative with nonzero identity. Let $M$ be an $R$-module. A proper submodule $N$ of $M$ is called a classical prime submodule, if for each $m\in M$ and elements $a,b\in R$, $abm\in N$ implies that $am\in N$ or $bm\in N$. We introduce the concept of "classical 2-absorbing submodules" as a generalization of "classical prime submodules." We say that a proper submodule $N$ of $M$ is a classical 2-absorbing submodule if whenever $a,b,c\in R$ and $m\in M$ with $abcm\in N$, then $abm\in N$ or $acm\in N$ or $bcm\in N$.

研究の動機と目的

• 古典的素的部分加群を一般化するために、古典的2吸収的部分加群の概念を導入すること。
• 可換環上の加群における古典的2吸収的部分加群の構造的性質を調査すること。
• 乗法的および包含的性質に基づいて、古典的2吸収的部分加群を特徴づけること。
• 古典的2吸収的部分加群、古典的素的部分加群、および2吸収的部分加群の間の関係を特定すること。
• 分解定理を用いて、有限直積加群における古典的2吸収的部分加群を完全に記述すること。

提案手法

• R-加群Mの真部分加群Nを、すべてのa,b,c ∈ Rおよびm ∈ Mに対して、abc m ∈ N ならば ab m ∈ N または ac m ∈ N または bc m ∈ N を満たすものとして、古典的2吸収的部分加群と定義する。
• 加群の上への準同型および商加群を用いて、エピモルフィズムの下で、古典的2吸収的部分加群の逆像および像が依然として古典的2吸収的部分加群のままであることを示す。
• 加群の準同型による引き戻しおよび押し出しにおいて、核および像の条件を満たすとき、古典的2吸収的部分加群の性質が保たれることを証明する。
• 直積加群における挙動を帰納法および分解可能な環上の分解を用いて、古典的2吸収的部分加群を特徴づける。
• 有限直積における古典的2吸収的部分加群の構造定理を確立し、それが、1つの因子において古典的2吸収的部分加群が現れる場合、または2つの異なる因子において古典的素的部分加群が現れる場合にのみ生じることを示す。
• 分解可能な環および加群の構造を用いて、問題をより単純な成分に還元し、既知の古典的素的部分加群に関する結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換環上の加群の部分加群がいつ古典的2吸収的部分加群となるか？
• RQ2 古典的2吸収的部分加群は、古典的素的部分加群および2吸収的部分加群とどのように関係しているか？
• RQ3 分解可能な環上の有限直積加群における古典的2吸収的部分加群の構造はいかなるものか？
• RQ4 ネーター加群は、最小古典的2吸収的部分加群を有限個しか含まないか？
• RQ5 環が分解可能であるとき、加群の直積における古典的2吸収的部分加群の正確な特徴づけは何か？

主な発見

• すべての古典的素的部分加群は、古典的2吸収的部分加群である。これは、一般化の階層を確立する。
• R-加群Mがネーター的であるとき、最小古典的2吸収的部分加群は有限個しか存在しない。
• 加群Mの部分加群Nが古典的2吸収的部分加群であるための必要十分条件は、エピモルフィズムによる像が古典的2吸収的部分加群であること、および核を含む逆像についても同様に成り立つことである。
• 分解可能な環 R = R₁ × ⋯ × Rₙ およびその上の加群の有限直積 M = M₁ × ⋯ × Mₙ に対して、真部分加群Nが古典的2吸収的部分加群であるための必要十分条件は、Nが、1つの因子が古典的2吸収的部分加群で他は全加群であるような積、または2つの因子が古典的素的部分加群で他は全加群であるような積であることである。
• 直積の文脈において、古典的2吸収的部分加群は、1つの成分において古典的2吸収的部分加群が現れる場合、または2つの異なる成分において古典的素的部分加群が現れる場合にのみ生じる。
• 直積加群における古典的2吸収的部分加群の構造は、成分加群における古典的素的部分加群の構造によって完全に決定され、帰納法および分解可能な環上の分解を用いて示された。