[論文レビュー] Classical algorithms and quantum limitations for maximum cut on high-girth graphs

Boaz Barak, Kunal Marwaha|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、高径路長グラフにおける最大カット問題に対する局所的量子および古典的アルゴリズムの性能を分析する。1-ローカルな量子および古典的アルゴリズムは、C ≈ 0.707 である場合、最大で 1/2 + C/√D を達成するが、古典的 k-ローカルアルゴリズムは 1/2 + 2/π√D − O(1/√k) を達成し、高径路長グラフでは定数深さの QAOA を上回る。実験結果から、すべてのインスタンスにおいて古典的アルゴリズムが QAOA を点ごとに上回る可能性があることが示唆される。

ABSTRACT

We study the performance of local quantum algorithms such as the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) for the maximum cut problem, and their relationship to that of classical algorithms. (1) We prove that every (quantum or classical) one-local algorithm achieves on $D$-regular graphs of girth $> 5$ a maximum cut of at most $1/2 + C/\sqrt{D}$ for $C=1/\sqrt{2} \approx 0.7071$. This is the first such result showing that one-local algorithms achieve a value bounded away from the true optimum for random graphs, which is $1/2 + P_*/\sqrt{D} + o(1/\sqrt{D})$ for $P_* \approx 0.7632$. (2) We show that there is a classical $k$-local algorithm that achieves a value of $1/2 + C/\sqrt{D} - O(1/\sqrt{k})$ for $D$-regular graphs of girth $> 2k+1$, where $C = 2/\pi \approx 0.6366$. This is an algorithmic version of the existential bound of Lyons and is related to the algorithm of Aizenman, Lebowitz, and Ruelle (ALR) for the Sherrington-Kirkpatrick model. This bound is better than that achieved by the one-local and two-local versions of QAOA on high-girth graphs. (3) Through computational experiments, we give evidence that the ALR algorithm achieves better performance than constant-locality QAOA for random $D$-regular graphs, as well as other natural instances, including graphs that do have short cycles. Our experimental work suggests that it could be possible to extend beyond our theoretical constraints. This points at the tantalizing possibility that $O(1)$-local quantum maximum-cut algorithms might be *pointwise dominated* by polynomial-time classical algorithms, in the sense that there is a classical algorithm outputting cuts of equal or better quality *on every possible instance*. This is in contrast to the evidence that polynomial-time algorithms cannot simulate the probability distributions induced by local quantum algorithms.

研究の動機と目的

• 最大カット問題において、多項式時間の古典的アルゴリズムが、QAOA などの局所的量子アルゴリズムをすべてのグラフで点ごとに上回ることができるかどうかを調査すること。
• D-正則で高径路長のグラフにおける1-ローカルおよびk-ローカルな古典的・量子アルゴリズムの性能に理論的限界を確立すること。
• 計算実験を通じて、高径路長の仮定を越えて、古典的アルゴリズムと量子アルゴリズムの性能差が継続するかどうかを評価すること。
• 高径路長グラフにおいて、1/2 + P*/√D + o(1/√D) の近似比を達成できる古典的アルゴリズムの可能性を調査すること。

提案手法

• スペクトル的および確率的議論を用いて、girth > 5 の D-正則グラフにおけるすべての1-ローカルアルゴリズムに対して、上界 1/2 + 1/√(2D) を証明する。
• Aizenman-Lebowitz-Ruelle (ALR) 法にインspiredされた古典的 k-ローカルアルゴリズムを構築し、girth > 2k+1 の D-正則グラフで 1/2 + 2/π√D − O(1/√k) を達成する。
• 高径路長グラフにおける木のような近傍構造を活用して、最大カット問題を D-正則木上の局所的意思決定問題に還元する。
• ランダム正則グラフ、グリッド、トーラスを用いた計算実験を通じて、ALR と QAOA の性能を、深さやグラフ構造の違いに応じて比較する。
• GW および ALR が失敗するような、小さなサイクルを含むインスタンス（例えば、グラフの非連結和）において、QAOA と ALR の性能を分析する。
• Zhou ら (2020a) の既存の QAOA シミュレーションを活用して、実世界のインスタンスにおける ALR と QAOA の性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのグラフ（短いサイクルを含むものも）において、多項式時間の古典的アルゴリズムが O(1)-ローカル量子アルゴリズムを点ごとに上回ることができるか？
• RQ2 高径路長 D-正則グラフにおいて、1-ローカルアルゴリズムが 1/2 + C/√D まで達成できるような最適な定数 C は何か？
• RQ3 高径路長のランダム D-正則グラフにおいて、古典的 ALR ベースの k-ローカルアルゴリズムは定数深さ QAOA を上回るか？
• RQ4 グリッド やトーラスのような小さなサイクルを含むグラフにおいて、古典的アルゴリズムが QAOA を上回る性能優位性を観察できるか？
• RQ5 D-正則で高径路長のグラフにおいて、1/2 + P*/√D + o(1/√D) の漸近的最適値を達成できる古典的アルゴリズムは存在するか？

主な発見

• D-正則で高径路長のグラフにおける1-ローカルアルゴリズムは、最大で 1/2 + 1/√(2D) ≈ 1/2 + 0.707/√D を達成するが、真の最適値 1/2 + 0.763/√D から明確に離れている。
• 古典的 k-ローカルアルゴリズムは 1/2 + 2/π√D − O(1/√k) ≈ 1/2 + 0.6366/√D − O(1/√k) を達成し、高径路長グラフにおいて1-および2-ローカル QAOA を上回る。
• 計算実験の結果、ランダム正則グラフおよび小さなサイクルを含むグラフ（グリッドやトーラスを含む）において、ALR アルゴリズムは定数深さの QAOA より一貫して優れている。
• ALR アルゴリズムは、グリッド やトーラスなどの二部グラフでは最適カット値 1 を達成するが、p ≪ n の QAOA は最適値に到達できない。
• 理論的結果から、O(1)-ローカル量子アルゴリズムは、点ごとの支配性において古典的アルゴリズムに支配される可能性があるが、すべてのグラフに対しては未解決のままである。
• 実験結果から、QAOA の性能は、深さ p に対してグラフサイズ n が増大するにつれて古典的アルゴリズムに比べて劣化し、p を n と共に増大させることで優位性を達成できる可能性がある。