[論文レビュー] Classical analytic solutions of the non-stationary Navier-Stokes equation in two, three and higher dimensions

R. K. M. Thambynayagam|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2013

Fluid Dynamics and Vibration Analysis参考文献 1被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、非定常ナビエ＝ストークス方程式の古典的解析解を、2次元、3次元、およびそれ以上の次元で導出する手法を提示する。非線形な「アンビリカル力」が消えるように初期速度場と外力場を構成することで達成される。主な貢献は、アンビリカル力がゼロであり、非圧縮性が保たれるように初期データと外力場を選び、熱方程式の滑らかなかい数解がナビエ＝ストークス方程式を満たすことができることである。これにより、$\mathbb{R}^n$ 上で完全に $C^{\infty}$ の解が得られる。解は $n=2,3$ に対して明示的に構成され、エネルギーの上限とソレノイダル条件を満たすことが確認されている。

ABSTRACT

In this paper we present a method to derive classical solutions of the Navier-Stokes equations for non-stationary initial value problems in domain $\mathbb{R}^n$ ($n=2,3$ or higher). Exact solutions in $\mathbb{R}^2$ and $\mathbb{R}^3$ in the presence of an externally specified force are obtained by imposing certain restrictions on the initial data.

研究の動機と目的

• 非定常ナビエ＝ストークス方程式の $\mathbb{R}^n$ 上での $n=2,3,$ およびそれ以上の次元における正確な古典的解析解を構築すること。
• ナビエ＝ストークス方程式の非線形性の課題に応えるために、「アンビリカル力」$\mathcal{U}_i(v)$ の非線形項を排除する条件を導入すること。
• すべての時間において速度場が発散なし（ソレノイダル）のままであるように保証し、非圧縮性制約を満たすこと。
• 特定の初期条件および外力条件の下で、熱方程式の滑らかな解がナビエ＝ストークス系を満たすことを示すこと。
• 2次元および3次元の流れに対して、エネルギーの上限と正則性条件を満たす明示的で閉形式の解としての速度場および圧力場を提供すること。

提案手法

• 非線形項「アンビリカル力」$\mathcal{U}_i(v)$ を導入し、これは圧力勾配と速度の非線形性に起因する。この項がゼロになるように構成することで、その消滅を強制する。
• 圧力場は簡略化された圧力ポアソン方程式（PPE）$\Delta p = \rho \sum_{i=1}^n \frac{\partial (f_i - g_i)}{\partial x_i}$ から導出され、ガンマ関数と距離カーネルを用いた基本解によって解かれる。
• 解は、$v_i(x,t) = \phi_i(x) \Omega(t) e^{-\pi^2 \kappa t}$ の形で変数分離を仮定することで構成される。ここで $\phi_i(x)$ は非圧縮性を満たす三角関数である。
• 初期速度場は、異なる空間変数における正弦関数と余弦関数の組み合わせとして選ばれ、発散なしの構造を保証する。
• 外力は、非線形慣性項 $g_i$ と圧力勾配項がバランスをとるように導入され、その結果 $\mathcal{U}_i(v) \equiv 0$ となるように設計され、系が線形熱方程式に簡略化される。
• 振幅の時間発展は $\Omega(t) = 1 + \int_0^t \mathcal{G}(\tau) e^{\pi^2 \kappa \tau} d\tau$ で支配され、特定の外力ケースに対して明示的に解かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常ナビエ＝ストークス方程式が $\mathbb{R}^n$ ($n \geq 2$) 上で、特定の初期条件および外力条件のもとで正確な解析解を構築可能か？
• RQ2 非線形な「アンビリカル力」$\mathcal{U}_i(v)$ がどのような条件下で消えるか。これによりナビエ＝ストークス系が線形熱方程式に簡略化されるか？
• RQ3 初期速度場をどのように設計すれば、$\mathbb{R}^n$ 上ですべての時間において流れが発散なしのままであるか？
• RQ4 非線形項が排除された状況で、正確な解を構成する際の圧力ポアソン方程式の役割は何か？
• RQ5 2次元および3次元の流れに対して、エネルギーの上限とソレノイダル制約を満たす滑らかで $C^\infty$ の解を明示的に導出可能か？

主な発見

• アンビリカル力 $\mathcal{U}_i(v) \equiv 0$ を満たすように初期条件および外力条件を適切に選ぶことで、$\mathbb{R}^2$ および $\mathbb{R}^3$ における速度場および圧力場の正確な $C^\infty$ 解が導出された。
• 外力が $f_1 = f_I e^{-\lambda t}$、$f_2 = f_3 = 0$ の場合、$v_1$ の解は $v_1 = \{a\sin(\pi x_3) - c\cos(\pi x_2)\} e^{-\pi^2 \kappa t} + \begin{cases} f_I t, & \lambda = 0 \\ \frac{f_I}{\lambda}(1 - e^{-\lambda t}), & \lambda > 0 \end{cases}$ となり、$v_2$, $v_3$, および $p$ に対しても同様の形が得られる。
• 圧力場は明示的に $p = -\rho \Omega^2(t) e^{-2\pi^2 \kappa t} \left[ bc\cos(\pi x_1)\sin(\pi x_2) + ab\cos(\pi x_3)\sin(\pi x_1) + ac\cos(\pi x_2)\sin(\pi x_3) \right]$ と与えられ、ポアソン方程式と滑らかさを満たす。
• 初期データが $\sum_{i=1}^n \partial v_i^0 / \partial x_i = 0$ を満たすように構成されているため、速度場はすべての $t \geq 0$ で発散なしのままである。
• エネルギー散逸は初期運動エネルギーによって上限が与えられ、すべての $t \geq 0$ で $\int_{\mathbb{R}^n} |v(x,t)|^2 dx < \mathcal{C}$ を満たす。物理的整合性が確認された。
• 渇きは適切に定義され、速度場の回転として計算可能であり、空間的および時間的滑らかさと正則性が確認された。