[論文レビュー] Classical and Quantum Bounded Depth Approximation Algorithms

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 47

ひとこと要約

本論文は MAX-K-LIN-2 および MAX-CUT に対する局所的な古典・量子の bounded-depth アルゴリズムを分析し、いくつかのケースで単純な1ステップの局所古典アルゴリズムが1ステップの QAOA を上回るか等しくなること、また特定の問題では固定深の局所スキームでは global-depth に匹敵できないことを示す。

ABSTRACT

We consider some classical and quantum approximate optimization algorithms with bounded depth. First, we define a class of "local" classical optimization algorithms and show that a single step version of these algorithms can achieve the same performance as the single step QAOA on MAX-3-LIN-2. Second, we show that this class of classical algorithms generalizes a class previously considered in the literature, and also that a single step of the classical algorithm will outperform the single-step QAOA on all triangle-free MAX-CUT instances. In fact, for all but $4$ choices of degree, existing single-step classical algorithms already outperform the QAOA on these graphs, while for the remaining $4$ choices we show that the generalization here outperforms it. Finally, we consider the QAOA and provide strong evidence that, for any fixed number of steps, its performance on MAX-3-LIN-2 on bounded degree graphs cannot achieve the same scaling as can be done by a class of "global" classical algorithms. These results suggest that such local classical algorithms are likely to be at least as promising as the QAOA for approximate optimization.

研究の動機と目的

• MAX-K-LIN-2 と MAX-CUT に対する局所的（bounded-depth）最適化アルゴリズムのクラスを動機づけ、形式化する。
• 選択された問題に対して1ステップの局所古典アルゴリズムと1ステップの QAOA の性能を比較する。
• 先行する局所アルゴリズムを一般化し、局所的古典法がQAOAを上回る領域を特定する。
• 局所アルゴリズムの限界を示し、global-parameterスキームが必要となる状況を論じる。）

提案手法

• 局所アルゴリズムを、局所に関連する自由度の反復更新として、bounded-depth回路または古典計算で定義する。
• 更新が v_{a+1} = g_a(v_a + c_a F_a) の形、または目的関数に応じて類似の形となるテンソルアルゴリズムフレームワークを導入する。
• シングルステップ更新とソフトスピン割り当てを用いて MAX-3-LIN-2 に特化し、目的期待値を Θ(D^{1/4} N) と得る。
• テンソルネットワーク図法アプローチとテンソルネットワーク畳み込みの一般的な補題を用いて高次項を境界付け、誤差項を制御する。
• 局所テンソルアルゴリズムをシミュレーテッドアニーリングと関連付け、並列更新における同型性を示す。
• 三角フリーグラフ上の MAX-CUT を解析し、1ステップ QAOA を局所閾値（およびソフト閾値）古典アルゴリズムと比較し、閾値パラメータ τ の最適化を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 bounded-depth 局所古典アルゴリズムは MAX-3-LIN-2 および triangle-free グラフ上の MAX-CUT で1ステップの QAOA に匹敵するか、または上回るか？
• RQ2 度 D とグラフサイズ N に対する古典局所アルゴリズムの目的値のスケーリングは、QAOA と比較してどうなるか？
• RQ3 局所アルゴリズムの一般化（テンソルアルゴリズム）は QAOA より改善をもたらすか、どこに限界があるか？
• RQ4 高深度または非局所的（global-parameter）な選択が、bounded-depth 局所スキームを超えて性能をどの程度改善するか？
• RQ5 奇数 K のとき MAX-K-LIN-2 の結果はどう拡張され、偶数 K への含意は何か？

主な発見

• MAX-3-LIN-2 では、1ステップ局所テンソルアルゴリズムが Θ(D^{1/4} N) の期待値を持つ目的値を達成し、1ステップQAOAとスケーリングが一致する。
• 三角フリー MAX-CUT では、D ∈ {3,4,6,11} を除くすべての次数で1ステップの局所古典アルゴリズムが1ステップの QAOA を上回る、ただしパラメータの一般化や数値検査の後に一部ケースで古典法が有利となる。
• ほとんどすべての次数選択において、既存の単一ステップ局所古典アルゴリズムはすでに三角フリーグラフ上でQAOAを上回っており、一般化手法がQAOAを上回る残る4つの次数選択がある。
• いかなる固定回数の QAOA ステップについても、bound のある次数グラフ上の MAX-3-LIN-2 に対するスケーリングは、グローバルな古典アルゴリズムの一群の性能スケーリングには到達できず、純粋に局所的なアプローチの限界を浮き彫りにしている。
• 局所古典アルゴリズム（Hirvonen et al. 2014 風）はテンソルアルゴリズムフレームワークの特別なケースとみなすことができ、パラメータを最適化すると、いくつかの設定で QAOA に勝る。
• 本論文は、局所アルゴリズムが非常に競争力を持つ一方で、bounded-depth depth を増やしても顕著な改善が得られない問題が存在することを指摘し、局所スキームの根本的な限界を強調している。