[論文レビュー] Classical and quantum dilogarithmic invariants of flat PSL(2,C)-bundles over 3-manifolds

Stéphane Baseilhac, Riccardo Benedetti|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2003

Geometric and Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、奇数 N に対する ℂ^N ⊗ ℂ^N 上の自己同型としての行列ディログラリズムを導入し、装飾された双曲的理想四面体と関連付ける。これらは一般化された五重項恒等式を満たす。これらの不変量は、平坦な PSL(2,ℂ)-束を持つ 3-多様体の状態和を形成し、N=1 のときには古典的不変量（体積、チェーン＝シモンズ）を回復し、N>1 のときには、境界付き双曲的 3-多様体の新しい量子不変量を定義する。N→∞ の漸近的体積予想により、量子不変量と幾何的体積が関連づけられる。

ABSTRACT

We introduce a family of matrix dilogarithms, which are automorphisms of C^N tensor C^N, N being any odd positive integer, associated to hyperbolic ideal tetrahedra equipped with an additional decoration. The matrix dilogarithms satisfy fundamental five-term identities that correspond to decorated versions of the 2 --> 3 move on 3-dimensional triangulations. Together with the decoration, they arise from the solution we give of a symmetrization problem for a specific family of basic matrix dilogarithms, the classical (N=1) one being the Rogers dilogarithm, which only satisfy one special instance of five-term identity. We use the matrix dilogarithms to construct invariant state sums for closed oriented 3-manifolds $W$ endowed with a flat principal PSL(2,C)-bundle rho, and a fixed non empty link L if N>1, and for (possibly "marked") cusped hyperbolic 3-manifolds M. When N=1 the state sums recover known simplicial formulas for the volume and the Chern-Simons invariant. When N>$, the invariants for M are new; those for triples (W,L,rho) coincide with the quantum hyperbolic invariants defined in [Topology 43 (2004) 1373-1423], though our present approach clarifies substantially their nature. We analyse the structural coincidences versus discrepancies between the cases N=1 and N>1, and we formulate "Volume Conjectures", having geometric motivations, about the asymptotic behaviour of the invariants when N tends to infinity.

研究の動機と目的

• 3-多様体上の平坦な PSL(2,ℂ)-束に関する古典的および量子ディログラリズム的不変量を統一する枠組みを構築すること。
• 基本的な行列ディログラリズムの対称化問題を、双曲的理想四面体に装飾構造を導入することによって解決すること。
• 行列ディログラリズムを用いて、リンクと平坦束を持つ閉じた 3-多様体および境界付き双曲的 3-多様体の状態和不変量を定義すること。
• 従来 [3] で定義された量子双曲的不変量（QHI）の幾何的および代数的性質を明確にし、それが本構成から自然に生じることを示すこと。
• N→∞ の極限における量子不変量の漸近的挙動を提示・動機づける体積予想を定式化すること。これにより、幾何的体積および切断合同類と関連づけられる。

提案手法

• 奇数 N に対して、装飾された双曲的理想四面体に関連する ℂ^N ⊗ ℂ^N 上の自己同型として行列ディログラリズムを定義する。
• 四面体に装飾構造を導入することで、行列ディログラリズムが完全な五重項恒等式を満たすように保証し、N=1 のときには古典的ロジャースディログラリズムに一般化する。
• 3-多様体の装飾 I-三角形分割における四面体に割り当てられた行列ディログラリズムの全収縮を通じて状態和不変量を構成する。
• 不変量を用いて、N=1 のときには体積およびチェーン＝シモンズ不変量の既知の単体的公式を回復し、N>1 のときには境界付き双曲的 3-多様体の新しい不変量を定義する。
• 切断合同類を通じて、古典的不変量と普遍的第二チーガー＝チェーン＝シモンズ類との関係を確立する。
• N→∞ の極限における H_N(M) および H_N(W,L,ρ) の漸近的挙動に関する体積予想を提示し、主要項が幾何的体積および切断合同類と関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 装飾された双曲的四面体に対して、完全な五重項恒等式を満たすように行列ディログラリズムをどのように構成できるか。N=1 のときには古典的ロジャースディログラリズムに一般化されるか。
• RQ2 これらの行列ディログラリズムを用いて定義された状態和不変量は、N=1 のときには既知の古典的不変量（体積、チェーン＝シモンズ）を回復し、N>1 のときには境界付き双曲的 3-多様体の新しい不変量を定義するか。
• RQ3 体積予想によれば、境界付き多様体 M に対して量子不変量 H_N(M) は、N→∞ のとき、I_fc-切断合同類にのみ依存するか。
• RQ4 リンクと平坦束を持つ閉じた 3-多様体 W_n に対して、H_N(W_n,L_n,ρ_n) の量子不変量は、N および多様体の幾何的複雑度が増加する際、どのように漸近的に振る舞うか。
• RQ5 量子不変量の漸近的挙動は、N→∞ の極限において、明確な成長率を通じて幾何的体積と関連づけられるか。

主な発見

• 行列ディログラリズムは、三角形分割における装飾付き 2→3 移動に対応する完全な五重項恒等式を満たし、N=1 のときには古典的ロジャースディログラリズムに一般化される。
• N=1 のとき、状態和不変量は、平坦な PSL(2,ℂ)-束の体積およびチェーン＝シモンズ不変量の古典的単体的公式を回復する。
• N>1 のとき、境界付き双曲的 3-多様体 M に対する不変量 H_N(M) は新しいものであり、[3] で定義された量子双曲的不変量（QHI）と一致するが、より明確な幾何的および代数的根拠を持つ。
• 古典的不変量 H_1(X) は、多様体の I_f-切断合同類における普遍的第二チーガー＝チェーン＝シモンズ類の値に等しい。
• 境界付き多様体のための体積予想は、H_N(M)^N の主要項が、N→∞ のとき指数関数的に exp((1/iπ)R(M)) のレートで増大することを予測する。ここで R(M) は双曲的体積である。
• この予想は、幾何的に境界付き多様体 M に収束する列 (W_n,L_n,ρ_n) にまで拡張され、H_N(W_n,L_n,ρ_n) の漸近的挙動も、極限の切断合同類にのみ依存することが示唆される。